Enunciado

Para estudar o dano que a colisão de grandes pássaros pode causar a um avião, você projeta uma arma de teste, que vai acelerar objetos do tamanho de uma galinha, de modo que seu deslocamento ao longo do cano seja dado por x = 9 × 10 3 t 2 - 8 × 10 4 t 3 . O objeto deixa o fim do cano no instante t = 0,025 s .

  1. Qual deve ser o comprimeito do cano da arma?
  2. Qual será a velocidade escalar dos objetos quando deixam o final do cano?
  3. Qual a força resultante deve ser exercida sobre um objeto de 1,5 k g a
  1. t = 0 e
  2. t = 0,025 s ?

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos diz que temos uma arma de teste que acelera objetos do tamanho de uma galinha, de modo que seu deslocamento ao longo do cano seja dado por

x = 9 × 10 3 t 2 - 8 × 10 4 t 3

O objeto deixa o fim do cano no instante t = 0,025 s .

Queremos encontrar o comprimento Δ x do cano da arma. Para isso, devemos analisar a posição inicial e a posição de quando a galinha sai do cano.

Também queremos encontrar a velocidade escalar dos objetos quando deixam o final do cano. Para isso, devemos derivar x em função do tempo (pois a velocidade é a derivada temporal do espaço).

Por fim, deveremos determinar a força resultante que deve ser exercida em um objeto de 1,5 k g em t = 0 e em t = 0,025 s .

Para isso, deveremos derivar novamente a expressão para encontrarmos a aceleração (pois a força depende do produto entre a massa e a aceleração).

Bora lá!! 😉

Passo 2

Para determinar o comprimento, precisamos saber as posições que a galinha tem no instante inicial t = 0 e quando t = 0,025 s que é quando ela sai do cano.

Em t = 0 temos:

x 0 = 9 × 10 3 0 2 - 8 × 10 4 0 3 = 0

Em t = 0,025 s temos:

x 0 = 9 × 10 3 0,025 2 - 8 × 10 4 0,025 3 = 4,4 m

Sendo assim o tamanho do cano vai ser:

Δ x = 4,4 - 0 = 4,4 m

Passo 3

A velocidade é a derivada temporal da posição. Como temos a expressão da posição em função do tempo x t = 9 × 10 3 t 2 - 8 × 10 4 t 3 , vamos derivar para encontrar uma expressão para a velocidade em função do tempo:

v = d x d t = d d t ( 9 × 10 3 t 2 - 8 × 10 4 t 3 )

v ( t ) = 18 × 10 3 t - 24 × 10 4 t 2

E para descobrir a velocidade no instante que a galinha deixa o cano, é só substituir t = 0,025 nessa expressão aí de cima:

v 0,025 = 18 × 10 3 ( 0,025 ) - 24 × 10 4 ( 0,025 ) 2

v = 300 m / s

Passo 4

Por fim, para determinar a força resultante será preciso determinar antes a aceleração. Obtemos a aceleração derivando a expressão da velocidade em relação ao tempo:

a = d v d t

Usando a expressão para a velocidade encontrada no item anterior, agora é só derivar:

a = d d t ( 18 × 10 3 t - 24 × 10 4 t 2 )

a ( t ) = 18 × 10 3 - 48 × 10 4 t

  1. A aceleração em t = 0 é:
  2. a 0 = 18 × 10 3 m / s 2

    E a força nesse instante vai ser:

    F = m a = 1,5 ⋅ 18 × 10 3 = 2,7 × 10 4 N

  3. A aceleração em t = 0,025 é:

a 0,025 = 18 × 10 3 - 48 × 10 4 0,025 = 6 × 10 3 m / s 2

E a força nesse instante vai ser:

F = m a = 1,5 ⋅ 6 × 10 3 = 9 × 10 3 N

Resposta

a ) 4,4 m

b ) 300 m / s

c ) i ) 2,7 × 10 4 N   i i ) 9 × 10 3 N

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