Enunciado

No exemplo 18.7 (Seção 18.3), vimos que v q - m é d   era maior do que v m é d . Não é difícil mostrar que isso sempre ocorre. (A única exceção acontece quando todas as partículas possuem a mesma velocidade; nesse caso, v q - m é d i a = v m é d .) a) Para duas partículas com velocidade v 1 e v 2 , mostre que v q - m é d ≥ v m é d independentemente do valores numéricos de v 1 e v 2 . A seguir, mostre que v q - m é d i a > v m é d quando v 1 ≠ v 2 . b) Suponha que, em uma coleção de N partículas, você saiba que v q - m é d   < v m é d . Outra partícula com velocidade u é adicionada à coleção de partículas. Se a nova velocidade quadrática média for designada por v q - m é d   e v m é d designar a nova velocidade média, mostre que:

v q - m é d   ' = N v q - m é d   2 + u 2 N + 1 e v m é d ' = N v m é d + u N + 1

c) Use as expressões da parte (b) para provar que v q - m é d   é sempre maior que v m é d , independente do valor numérico de u . d) Explique por que os resultados dos itens (a) e (c) juntos demonstram que v q - m é d   é sempre maior que v m é d , em qualquer conjunto de partículas, quando elas não possuem todas a mesma velocidade.

Passo 1

Para N   partículas:

v a v = ∑ v i N e v r m s = ∑ v i 2 N

Passo 2

  1. Assim,
  2. v a v = 1 2 ( v 1 + v 2 )

    E

    v r m s = 1 2 v 1 2 + v 2 2

    E

    V r m s 2 - v a v 2 = 1 2 v 1 2 + v 2 2 - 1 4 v 1 2 + v 2 2 + 2 v 2 v 2 = 1 4 v 1 2 + v 2 2 - 2 v 1 v 2 = 1 4 v 1 - v 2 2

    Isso mostra que v r m s ≥ v a v , com igualdade mantendo se e somente se as partículas tiverem as mesmas velocidades.

    Passo 3

  3. E
  4. v r m s 2 = 1 N + 1 N v r m s 2 + u 2 ,

    v ' a v = 1 N + 1 N v a v + u ,

    E e os formulários fornecidos seguem imediatamente.

    Passo 4

  5. A álgebra é semelhante à da parte (a); ajuda um pouco para expressar
  6. v a v 2 = 1 N + 1 2 N N + 1 - 1 v a v 2 + 2 N v a v u + N + 1 - N u 2

    v a v 2 = N N + 1 v a v 2 + N N + 1 2 - v a v 2 + 2 v a v u - u 2 + 1 N + 1 u 2

    Então,

    v r m s 2 - v ' a v 2 = N N + 1 v r m s 2 - v a v 2 + N N + 1 2 v a v 2 - 2 v a v u + u 2 = N N + 1 v r m s 2 - v a v 2 + N N + 1 2 v a v - u 2

    Se v r m s > v a v , então essa diferença é necessariamente positiva e v r m s ' > v a v ' .

    Passo 5

  7. O resultado foi mostrado para N = 1 e foi mostrado que a validade para N implica validade para N + 1 ; por indução, o resultado é verdadeiro para todos os N.

v r m s > v a v pois v r m s dá mais peso às partículas que têm maior velocidade.

Resposta

  1. Isso mostra que v r m s ≥ v a v , com igualdade mantendo se e somente se as partículas tiverem as mesmas velocidades.
  2. Mostrados no passo 3.
  3. Se v r m s > v a v , então essa diferença é necessariamente positiva e v r m s ' > v a v ' .
  4. resultado é verdadeiro para todos os N.
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