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Um gás é submetido a uma expansão isotérmica reversível num recipiente cilídrico munido de um pistão de área A e massa M . O pistão desloca-se na direção x com velocidade constante u . Tem-se u ≪ v q m e M ≫ m , onde v q m é a velocidade quadrática média das moléculas, cuja massa é m . Suponha as colisões das moléculas com o pistão perfeitamente elásticas num referencial que se move com o pistão. (a) Mostre que, no referencial do laboratório (onde o cilindro está em repouso), as colisões com o pistão não são perfeitamente elásticas, calculando a perda de energia cinética de uma molécula que colide com o pistão com componente x da velocidade v x > 0 (no resultado, despreze u em confronto com v x ). (b) Some sobre todas as moléculas e mostre que a perda total de energia cinética é igual ao trabalho realizado na expansão do gás.

Passo 1

(a) Nossa primeira tarefa é calcular a variação de energia cinética da molécula que colide com o pistão.

No referencial do pistão, a velocidade com que a molécula chega deve ter o mesmo módulo da velocidade com que ele sai, mas sentidos opostos.

Nesse desenho, u é a velocidade do pistão, que pode ter sinal positivo ou negativo, dependendo do sentido.

Agora queremos passar isso para o referencial do laboratório. Para isso só precisamos somar u a todas as velocidades que escrevemos.

E note que aquele vetor que indica a velocidade do pistão pode ter um sentido diferente, dependendo do sinal de u .

Passo 2

Beleza, agora é só calcular a diferença de energia cinética entre o antes e depois no referencial do laboratório;

Δ K = K d e p o i s - K a n t e s

Δ K = m - v x + 2 u 2 2 - m v x 2 2

Vamos colocar m / 2 em evidência:

Δ K = m 2 v x 2 - 4 u v x + 4 u 2 - v x 2

Δ K = m 2 4 u 2 - 4 u v x

E conforme a sugestão do enunciado, vamos ignorar os termos em que u aparece elevado ao quadrado:

Δ K ≈ - 2 m u v x

Pronto! Mostramos que a colisão não é perfeitamente elástica, porque a molécula perde alguma energia cinética.

Se tivermos N moléculas, a perda total de energia cinética será:

Δ K T = - 2 N m u v x

Passo 3

(b) Ok, agora o próximo passo é calcular o trabalho realizado pelo gás, e mostrar que é igual à variação de energia cinética que acabamos de calcular.

Vamos começar pela definição de trabalho:

W = F Δ x

Onde F é a força realizada e x é o deslocamento do pistão. Agora vamos reescrever a força a partir da variação de momento:

W = Δ p Δ t Δ x

Usando a mesma imagem de antes, dá pra ver que a variação de momento de cada molécula é:

Δ p = m - v x + 2 u - m v x

Δ p = m - 2 v x + 2 u = - 2 m v x + u

E temos que colocar um N para considerar a contribuição de todas as moléculas:

Δ p = - 2 N m v x + u

Passo 4

Agora vamos substituir na expressão que encontramos para o trabalho:

W = Δ p Δ t Δ x

W = - 2 N m v x + u Δ t Δ x

E podemos reescrever com ( Δ x / Δ t ) = u , que é simplesmente a velocidade do pistão no referencial do laboratório:

W = - 2 N m v x + u u

E finalmente, vamos usar a mesma aproximação de antes:

v x + u ≈ v x

Então:

W = - 2 N m u v x

E chegamos no resultado esperado: o trabalho é igual à variação da energia cinética!

Resposta

(a) A perda de energia cinética é - Δ K = 2 N m u v x .

(b) O trabalho realizado na expansão do gás é W = - 2 N m u v x .

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