Enunciado

A família Zacchini ficou famosa pelos números de circo em que um membro da família era disparado de um canhão com a ajuda de elásticos ou ar comprimido. Em uma versão do número, Emanuel Zacchini foi disparado por cima de três rodas gigantes e aterrissou em uma rede, na mesma altura que a boca do canhão, a 69   m de distância. Ele foi impulsionado dentro do cano por uma distância de 5,2   m e lançado com um ângulo de 53 ° . Se sua massa era 85   k g e ele sofreu uma aceleração constante no interior do cano, qual foi o módulo da força responsável pelo lançamento? (Sugestão: trate o lançamento como se acontecesse ao longo de uma rampa de 53 ° . Despreze a resistência do ar.)

Passo 1

Este é um problema que envolve um lançamento oblíquo, onde podemos desmembrar em dois movimentos, um MRU e um MRUV, e também a segunda lei de Newton. Para isso precisamos estar afiados para as fórmulas de cada uma dessas coisas, show?

O problema nos dá a distância horizontal percorrida pelo Emanuel ( d x = 69   m ), a distância percorrida no cano ( d c = 5,2   m ), a inclinação do cano ( θ = 53 ° ), a massa do homem ( m = 85   k g ), diz também que no interior do cano ele sofreu uma aceleração constante e, apartir desses dados, ele nos pede a força do lançamento.

Passo 2

Vamos iniciar este problema de trás para frente. Iniciamente, vamos analisar o lançamento oblíquo, separando-o em dois eixos (eixo x e eixo y ). Para tanto, iniciaremos analisando o eixo x por ser menos complicado, ser um MRU, lembrando que a função que rege este movimento é:

x t = x 0 + v 0 x t

Considerando que a origem das coordenadas esteja posicionada no ponto de lançamento ( x 0 = y 0 = 0 ) e substituindo os valores conhecidos:

69 = v 0 cos ⁡ 53 ° t f

Isolando o t f :

t f = 69 v 0 cos ⁡ 53 °

Passo 3

Com o valor do tempo total do lançamento em mãos, calculado a partir do eixo x , podemos usar agora a função da posição para o eixo y para determinar v 0 . Assim :

y t = y 0 + v 0 y t - g t 2 2

Substituindo os valores:

0 = 0 + v 0 sin ⁡ 53 ° × 69 v 0 cos ⁡ 53 ° - 9,8 2 × 69 v 0 cos ⁡ 53 ° 2

0 = 91,57 - 64412 v 0 2

Isolando v 0 :

v 0 = 64412 91,57 = 26 , 5   m / s

Passo 4

Com a velocidade no início do lançamento oblíquo em maõs, como o enunciado pede para considerar o deslocamento do cano com aceleração constante e como o homem parte do repouso, podemos aplicar a equação de Torricelli para determinar a aceleração no cano:

v 2 = v 0 2 + 2 a ∆ x

Substituindo os valores conhecidos:

26,5 2 = 0 2 + 2 × a × 5,2

Isolando o a :

a = 702,25 10,4 = 67,5   m / s 2

Passo 5

Com o valor da aceleração em mãos, podemos aplicar a segunda lei de Newton, porém, precisamos ter bastante cuidado nessa para não cair da pegadinha. Aqui, o plano está inclinado, se determinamos um eixo x paralelo ao plano inclinado, então além da força do lançamento, temos também uma componente da força peso. Portanto, a segunda lei de Newton fica com a seguinte cara:

F L - P sin ⁡ θ = m a

Substituindo os valores conhecidos e isolando F L :

F L = 85 × 67,5 + 85 × 9,8 × sin ⁡ 53 ° = 6402   N

Resposta

F L = 6,4   k N

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