Enunciado

31. Na Fig. 11-42, uma bola de 0,400   k g é lançada verticalmente para cima com velocidade inicial de 40,0   m / s . Qual é o momento angular da bola em relação a P, um ponto a uma distância horizontal de 2,00   m do ponto de lançamento, quando a bola está (a) na altura máxima e (b) na metade do caminho de volta ao chão? Qual é o torque em relação a P a que a bola é submetida devido à força gravitacional quando está (a) na altura máxima e (b) na metade do caminho de volta ao chão?

Passo 1

P r i m e i r a   p e r g u n t a ,   L e t r a   A :

O momento angular de uma partícula é sempre dado por...

l → = r m v sin ⁡ ϕ

Onde r é a distância do ponto P até a partícula, m sua massa, v a sua velocidade naquele ponto e ϕ é o ângulo entre a o r e a velocidade. No nosso problema, essas grandezas estão desenhadas pra você aqui:

Mas repare que quando a bolinha está no ponto máximo, a velocidade dela é 0 . Portanto, o momento angular dela nesse ponto será...

l → = 0

Passo 2

P r i m e i r a   p e r g u n t a ,     L e t r a   B :

Quando a bolinha está voltando, ela vai estar nessa configuração aqui:

Infelizmente, quando a bolinha está na metade do caminho, não vai ser tão simples quanto no passo 1, já que temos que encontrar o valor de r , v e α antes de determinar o valor do momento angular dela.

Primeiro, vamos encontrar a altura que ela atingiu quando ela chegou no ponto máximo. Para isso vamos usar a equação de Torricelle...

v 2 = v 0 2 + 2 a ∆ S

Onde a é a aceleração da gravidade - g , menos é porque a aceleração está pra baixo, v 0 = 40   m / s é velocidade inicial e v = 0 a velocidade final. ∆ S é a altura que ela atingiu...

0 2 = 40 2 - 2 g ∆ S   →

∆ S = 40 2 2 9,8 =

81,63   m

Então essa é a altura total atingida à bola na metade do caminho então terá a velocidade pela equação de Torricelle...

v 2 = 2 9,8 81,63 2   →

v = 28,28   m / s

Agora temos que encontrar a distância r (que pode ser dada por Pitágoras):

r 2 = 2 2 + 81,63 2 2       →

r = 40,86  

Por último, temos que encontrar o ângulo α que é a soma desse ângulo β mais 90 ° :

Esse ângulo β é dado pela trigonometria mesmo:

cos ⁡ β = 2 r   →

β = arccos ⁡ 2 40,86 = 87,19 °

Então o ângulo α ...

α = 177,19 °

Com isso a gente pode encontrar o módulo do momento angular:

l → = r m v sin ⁡ ϕ   →

l → = 40,86 0,4 28,28 sin ⁡ 177,19   →

l → = 22,65   k g m 2 / s

Como ele é um vetor, pela regra da mão direita entre o vetor r → e v → , temos que o momento angular vai estar para dentro da telinha .

Passo 3

S e g u n d a   P e r g u n t a ,   L e t r a   A :

O torque é sempre dado por...

τ = r F sin ⁡ ϕ

Onde F é a força que a bolinha está submetida; r é a distância entre o ponto P e a bolinha, ϕ o ângulo entre F e ϕ (mesmo ângulo α no caso onde a bolinha está na metade do caminho). Para a bolinha no ponto máximo, entretanto...

r 2 = 2 2 + 81,63 2

r = 81,65

Já o ângulo ϕ , ele basicamente é o mesmo ângulo α do desenho anterior, por trigonometria, tiramos que, para a altura máxima:

ϕ = arccos ⁡ 2 81,65 + 90 ° =

178 , 59 °

Então...

τ = r F sin ⁡ ϕ   →

τ = 81,65 m g sin ⁡ 178 , 59 ° →

τ = 7,87   N ⋅ m

Entrando na tela do PC, já que a força peso está para baixo.

Passo 4

S e g u n d a   P e r g u n t a ,   L e t r a   B :

Agora vamos fazer o mesmo que no passo anterior, mas usando os dados do passo 2, já que estamos falando da metade do caminho:

r = 40,86

ϕ = α = 177,19 °

Então...

τ = r F sin ⁡ ϕ   →

τ = 40,86 m g sin ⁡ 177 , 19 ° →

τ = 7,85   N ⋅ m

Também entrando na tela.

Resposta

P r i m e i r a   p e r g u n t a ,   L e t r a   A :

l → = 0

P r i m e i r a   p e r g u n t a ,   L e t r a   B :

l → = 22,65 k g   m 2 s         ( e n t r a n d o   n a   t e l a )

S e g u n d a   P e r g u n t a ,   L e t r a   A :

τ = 7,87   N ⋅ m           ( e n t a n d o   n a   t e l a )

S e g u n d a   P e r g u n t a ,   L e t r a   B :

τ = 7,8 5   N ⋅ m           ( e n t a n d o   n a   t e l a )

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