Enunciado

Um trem com uma velocidade constante de 60,0   k m / h se move na direção leste por 40,0   m i n , depois em uma direção que faz um ângulo de 50,0 º a leste com a direção norte por 20,0   m i n e, finalmente, na direção oeste por mais 50,0   m i n . Quais são

( a ) o módulo e

( b ) o ângulo da velocidade média do trem durante a viagem?

Passo 1

Desenhando o trajeto percorrido pelo trem nós teremos algo como:

Na letra a queremos calcular o módulo da velocidade desse trem mas primeiro temos que calcular o módulo da distância percorrido por ela, uma vez que a velocidade é constante e tem um vetor proporcional a ela. E para começar a fazer essa questão vamos calcular o vetor distância de cada trecho.

Dessa forma no primeiro trecho representa uma distância de:

v → = s → t → s → = v → t

Onde s → é o vetor da distância.

s 1 → = 60 k m h   i ^ ⋅ 40   m i n 60 m i n h  

Temos que converter o tempo de deslocamento para horas caso queiramos encontrar a distância vetorial de cada trecho. Então:

s 1 → = 40   k m i ^

Encontrando a distância vetorial do segundo trecho e do terceiro trecho nós teremos:

s 2 → = 60 s e n   50   k m i ^ + 60 cos ⁡ 50 j ^ ⋅ 20 60 h

s 2 → = 20 s e n   50   k m i ^ + 20 cos ⁡ 50   k m j ^

E a distância vetorial de s 3 :

s 3 → = - 60 k m h i ^ ⋅ 50 60 = - 50   k m i ^

Então a distância vetorial total do trajeto será:

s → = 40 + 20 s e n 50 - 50 i ^ + 20   c o s 50 j ^   [ k m ]

s → = 5.32   k m i ^ + 12.86   k m j ^

O módulo da distância será então de:

s = 5.32 2 + 12.86 2 = 13.91   k m

Passo 2

Só que queremos na letra a o módulo da velocidade do trem e para isso nós temos que fazer:

v = | s | t

Onde o tempo percorrido pelo trem em horas será de:

t = 40 + 20 + 50   [ m i n ] 60   m i n h = 11 6

Logo o módulo da velocidade será de:

v = 13.91 11 6 = 7.59 k m h

Passo 3

Como o vetor da velocidade é proporcional ao vetor posição equivalente então podemos afirmar que:

v → = 1 t   5.32   k m i ^ + 12.86   k m j ^

Então o vetor velocidade terá uma ângulo de:

θ = tan - 1 ⁡ 12.86 5.32 = 67.53   °   n o r d e s t e

E como o tempo é constante e é de 110   m i n ele não faz diferença para a angulação do vetor velocidade resultante, já que a velocidade é constante pra todos os trechos.

Resposta

a )   7.59 k m h

b )   67.53   °   n o r d e s t e

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A posição de um corpo varia segundo a equação x = Ac o s ⁡ ( ω t ) . Calcule a velocidade e aceleração do corpo no instante t .
A posição de um corpo varia segundo a equação x = As e n ⁡ ( ω t ) . Mosre que x = - a / ω 2 , onde a é a aceleração do corpo.
A velocidade de um corpo varia segundo a equação: v = 6m s + 0,2 m s 3 ⋅ t 4 Qual a aceleração do corpo no instante t = 2s ? Qual é o seu deslocamento no intervalo entre t = 2s e t = 4s ?
A posição de um corpo varia segundo a equação: x = 50 m + 10 m s ⋅ t + 1 m s 3 t - 2 s 3 Qual é a velocidade do corpo em t = 0 ?Qual é a sua aceleração em t = 0 ?
Qual é a velocidade do corpo cujo movimento é mostrado na Figura 2.16 no instante t = 10 s?