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Exercícios Resolvidos de Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick

Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick - 14.4 - 24

Na Fig. 14-35, a água atinge uma altura D   =   35,0   m atrás da face vertical de uma represa com W = 314   m de largura. Determine (a} a força horizontal a que está submetida a represa por causa da pressão manométrica da água e (b) o torque produzido por essa força em relação a uma reta que passa por O e é paralela à face plana da represa. Determine o braço de alavanca desse torque.

Passo 1

  1. De acordo com o resultado demonstrado no problema 19 dessa mesma seção, a força produzida por um fluido sobre uma parede vertical de um recipiente que o contém é dada pela integral das infinitas forças que variam com y em cada ponto ao longo da altura do líquido.
  2. Lembra do raciocínio que utilizamos? Para obtê-la, nós fizemos o somatório das infinitas forças de módulo F y = ( L a r g u r a ) × ρ × g × y × d y

    Daí, obtivemos:

    F r e s u l t a n t e =   ∫ 0 h ( L a r g u r a ) × ρ × g × y d y = ρ × g × ( N í v e l   d e   l í q u i d o ) 2 2 × L a r g u r a )

    Sendo y   a distância do ponto considerado até a superfície do fluido. Nesse caso, temos:

    Realizando a integral acima, temos como resultado

    F = ρ × g × D 2 2 × W

    ou seja:

    F = 1 2 1,00 × 10 3 k g m 3 9,8 m s 2 35   m 2 314   m ≅ 1,88 × 10 9 N

    Passo 2

  3. Aqui, precisamos lembrar do conceito de Torque. Lembre-se que ele é obtido pelo produto entre o módulo de uma força e o seu “braço”, ou seja, a distância entre sua linha de ação e o ponto considerado. Nesse caso, como a força varia com a altura (como já vimos no problema 19), o torque também varia. Cada pequena força de módulo F y = L a r g u r a × ρ × g × y × d y exerce um torque igual a

τ y = F y × ( D - y )

tomando como referência o ponto O indicado na Figura.

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Passo 2

Assim como na questão 19, temos aqui a mesma situação de somatório infinito de quantidades bem pequenas que variam com y (representadas por τ ( y ) ). Nesse caso, para obter o somatório dessas quantidades, realizamos a seguinte integral

τ = ∫ 0 D F ( y ) × D - y = ∫ 0 D W × ρ × g × y × d y × ( D - y )

Passo 3

Integrando de 0 a D, obtemos:

τ = ρ g W 1 2 D 3 - 1 3 D 3 = 1 6 ρ g W D ³ = 2,2 × 10 10 N . m

Passo 4

(c ) Para obtermos o braço de alavanca desse torque, utilizamos o conceito de momento que comentamos na letra (b): T o r q u e = F o r ç a × b r a ç o . Considerando r como igual ao braço pedido, temos:

F × r = τ

Sendo F e τ a força e o torque calculados anteriormente. Logo, vem:

ρ g D 2 2 W × r = 1 6 ρ g W D ³

Isolando r:

r = τ F = D 3 6 D 2 2 = D 3 = 35 m 3 ≅ 11,7   m

Resposta

  1. 1,88 × 10 9 N
  2. 2,2 × 10 10 N . m
  3. 11,7   m

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