Enunciado

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Na Fig 15-14 o bloco possui uma massa de 1,50 k g e a constante elástica é 8,00 N / m . A força de amortecimento é dada por - b d x / d t , onde b = 230 g / s . O bloco é puxado 12,0 c m para baixo e liberado. (a) Calcule o tempo necessário para que a amplitude das oscilações resultantes diminua para um terço do valor inicial. (b) Quantas oscilações o bloco realiza nesse intervalo de tempo?

Passo 1

Antes de tudo, a gente sabe que o movimento é amortecido, e que a amplitude decai no tempo de forma exponencial. Assim, a gente tem quer saber qual o tempo para que a razão de queda de amplitude seja de 1 / 3 . Então, temos

e - b t / 2 m = 1 / 3

Tomando logaritmo neperiano dos dois lados da equação, a gente consegue isolar o t na equação acima.

- b t / 2 m = l n ⁡ 1 / 3

. t = - 2 m / b l n ⁡ 1 / 3 = 2 m / b l n 3

t = 2 1,50 k g 0,230 k g / s l n 3 = 14,3 s

Passo 2

Calculando a frequência angular, a gente consegue achar o período, e consequentemente quantas oscilações o bloco realiza neste intervalo de tempo

ω ' = k m - b 2 4 m 2 = 8,00 N / m 1,50 k g - 0,230 k g / s 2 4 1,50 k g 2 = 2,31 r a d / s

O período é

T = 2 π / ω ' = 2 π / 2,31 r a d / s = 2,72 s

Logo, o número n de oscilações é

n = t / T = 14,3 s / 2,72 s = 5,27

Resposta

n = 5,27

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