Enunciado

A Fig. 2-39 mostra parte de uma rua na qual se pretende controlar o tráfego para permitir que um pelotão de veículos atravesse vários cruzamentos sem parar. Suponha que os primeiros carros do pelotão tenham acabado de chegar ao cruzamento   2 , onde o sinal abriu quando os carros estavam a uma distância d do cruzamento. Os carros continuam a se mover a uma certa velocidade v p (a velocidade máxima permitida) até chegarem ao cruzamento   3 . As distâncias entre os cruzamentos são D 23 e D 12 . (a) Quanto tempo depois que o sinal do cruzamento 2 abriu o sinal do cruzamento 3   deve abrir para que o sinal do cruzamento   3 abra quando os primeiros carros do pelotão estão a uma distância d do cruzamento 3 ?

Suponha que o pelotão tenha encontrado o sinal fechado no cruzamento   1 . Quando o sinal do cruzamento 1 abre, os carros da frente precisam de um certo tempo t para arrancar e de um tempo adicional para atingir a velocidade de cruzeiro v p com uma certa aceleração a . (b) Quanto tempo depois que o sinal do cruzamento 1 abriu o sinal do cruzamento 2 deve abrir para que o sinal do cruzamento 2 abra quando os primeiros carros do pelotão estão a uma distância d do cruzamento 2 ?

Passo 1

Essa questão assusta um pouco só com o texto, né? Mas vamos começar a dividí-la em pequenos pedaços para a gente entender, beleza? Inicialmente, o enunciado diz que o pelotão quando está a uma distância d do cruzamento 2 o sinal está aberto, então eles passam pelo cruzamento 2 em direção ao cruzamento 3 com uma VELOCIDADE CONSTANTE ( v p ). Logo, na primeira etapa da questão vamos trabalhar com um MRU.

Lembrando que a função característica deste movimento é: x t = x o + v o t . Nesta primeira etapa precisamos determinar o tempo, após o momento que os carros passam o cruzamento 2 , que o sinal do cruzamento 3 precisa abrir para que os carros não parem ( t a ).

No segundo momento, a questão pede para supormos que o sinal do cruzamento 1 está fechado, então os carros precisam de um tempo t com uma aceleração a para alcançar uma velocidade constante máxima ( v p ). Com isso, ele pede o tempo, após a abertura do sinal do cruzamento 1 , que o sinal do cruzamento 2 deve abrir para que a uma distância d deste cruzamento os carros já vejam o sinal verde ( t b ). Portanto, essa parte da questão trata-se de um MRUV seguido de um MRU.

Passo 2

Vamos iniciar pelo movimento exclusivamente uniforme. Usando a função de movimento explicitada no passo anterior:

x t = x o + v o t

Considerando que o cruzamento 2 seja nosso ponto de partida e, portanto, ( x 0 = 0 ). Usando os dados que o problema forneceu: A distância percorrida do cruzamento 2 até o cruzamento 3 sendo D 23 e a velocidade constante desse trecho do percurso sendo a velocidade máxima v p . Assim, reescrevendo a equação:

D 23 = 0 + v p t a

Isolando a incógnita que queremos, que é o instante t a :

t a = D 23 v p

Então, para que os carros não parem, o sinal deve abrir antes do instante t a , sendo este o tempo necessário para que os carros atravessem do cruzamento 2 até o cruzamento 3 .

Passo 3

Este segundo momento está dividido em MRUV seguido de um MRU. Para não embolar, vamos começar a analisar o MRUV:

Vamos iniciar analisando o movimento pela função da velocidade v t = v o + a t , pois nós temos a velocidade máxima alcançada pelo carro ( v p ), a aceleração a e a velocidade inicial v o = 0 , pois no enunciado diz que eles partem do repouso do cruzamento 1 . Então, substituindo os valores na equação para encontrar o tempo necessário para o carro alcançar a velocidade máxima, temos:

v p = 0 + a t o

Isolando o t o :

t o = v p a

Com esse tempo em mãos, podemos calcular a distância percorrida em MRUV pela função do movimento x t = x o + v o t + a t 2 2 , considerando a origem do nosso refencial como sendo o ponto de partida, logo, x o = 0 .

Usando os dados supracitados, reescrevemos a função no tempo t o para descobrir a distância percorrida D o :

D o = 0 + 0 t o + a t o 2 2

Substituindo o valor de t o encontrado acima:

D o = v p 2 2 a

Portanto, sabemos que o carro percorre com aceleração constante v p 2 2 a .

Passo 4

Agora, vamos analisar ainda a segunta etapa, porém a parte do MRU. Sabendo que a distância entre o cruzamento 1 e 2 é D 12 , lembrando que o sinal do cruzamento 2 deve abrir quando o carro ainda estiver a uma distância d do cruzamento e que o carro percorreu a distância D o em MRUV, então a distância percorrida em MRU é:

D 1 = D 12 - d - D o

Sabendo que a função do deslocamento deste movimento é: ∆ x = v o t e que a velocidade v o é igual a v p , podemos encontrar o tempo que o carro leva percorrendo a distância D 1 ( t 1 ) substituindo os valores na equação, então:

D 1 = v p t 1

Substituindo o valor de D 1 e isolando t 1 :

t 1 = D 12 - d - D o v p

Substituindo o valor de D o calculado no passo anterior:

t 1 = D 12 - d - v p 2 2 a v p

Portanto, o instante que o sinal do cruzamento 2 deve abrir após a abertura do sinal do cruzamento 1 é D 12 - d - v p 2 2 a v p .

Resposta

  1. t a = D 23 v p
  2. t 1 = D 12 - d - v p 2 2 a v p
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