Enunciado

A Fig. 30-78 mostra um fio em forma de arco de circunferência de raio r   =   24,0   c m , com centro no ponto O. Um fio retilíneo O P   pode girar em torno do ponto O e faz um contato deslizante com o arco no ponto P . Outro fio retilíneo O Q completa o circuito. Os três fios têm uma área da seção reta de 1,20   m m 2 e uma resistividade de   1,70   ×   10 - 8   Ω   ·   m , e o circuito está em uma região onde existe um campo magnético, de módulo B   =   0,150   T , que aponta para fora do papel. O fio O P parte do repouso na posição θ   =   0 e passa a se mover com uma aceleração angular constante de 12   r a d / s 2 . Determine, em função de θ , em radianos,

(a) a resistência do circuito e

(b) o fluxo magnético que atravessa o circuito.

(c) Para qual valor de θ a corrente induzida no circuito é máxima?

(d) Qual é a corrente máxima induzida no circuito?

Passo 1

Os dados que o problema nos trás são os seguintes:

θ 0 = 0

ω 0 = 0

α = 12   r a d / s 2

r = 24 × 10 - 2 m

B = 0,15 T

A = 12 × 10 - 6 m 2

ρ = 1,70   ×   10 - 8   Ω   ·   m

Daí das equações de movimento angular, com velocidade angular inicial zero e posição angular inicial também zero temos:

θ t = α t 2 2

θ ˙ t = α t

θ ¨ t = α

Certo? Guarda esses dados! Vamos usar num futuro muito próximo! Beleza? Vamos pra letra a então!

Passo 2

Letra a:

Como os fios estão ligados em sequência a resistência total vai ser a soma das resistências das partes individuais dos fios. Da definição de resistência temos:

R = ρ L A

A resistividade é igual para todas as partes, bem como a área da seção reta. Assim:

R = ρ A ( F i o O P + F i o O Q + A R C O )

O comprimento dos fios O P e O Q   são constantes e valem r . Já o arco depende do ângulo θ :

R = ρ A r + r + r θ = ρ r A ( 2 + θ )

Agora vamos substituir os valores de ρ ,   r   e   A :

R = 1,7 × 10 - 2 . 24 × 10 - 2 1,2 × 10 - 3 2 2 + θ = 1387,2 × 10 2 ( 2 + θ )

R = 1,3 × 10 4 ( 2 + θ )

Passo 3

Letra b:

O fluxo magnético é dado pela quantidade de linhas de campo que atravessam uma determinada área, não é? Então, quando o fio começa a se movimentar, ele acaba fechando o circuito e formando uma espira. E a área dessa espira aumenta confirme θ vai se movimentando. Assim a área e o fluxo magnético vão depender do ângulo.

A área vai ser a de um setor circular, assim fazendo uma regra de três simples temos:

 n g u l o - - - Á r e a

2 π - - - - π r 2

θ - - - - A

A = θ r 2 2

E o fluxo magnético φ é:

φ = B . A c o s α

Como o vetor normal à área e o campo magnético tem a mesma orientação temos que α = 0 , então o fluxo é:

φ = B θ r 2 2

E substituindo os valores do campo e do raio temos:

φ = 0,15 . 24 × 10 - 2 2 2 θ = 43,2 × 10 - 4 θ

φ = 4,32 × 10 - 3 θ

Show! Vamos pra próxima letra?

Passo 4

Letra c:

Como falei ali no passo anterior, a área da espira é dependente do ângulo θ então ali vai aparecer uma força eletromotriz induzida! Daí pra determinar a corrente vamos usar a Lei de Faraday:

d φ B d t = - ε

Mas você se pergunta: onde está a corrente? Daí do lado direito vamos usar a Lei de Ohm:

d φ B d t = - R i d

Pronto! Temos aqui nossa equação! O fluxo depende de θ e lembrando que a resistência também é (achamos ela no passo 2), agora é só substituir as expressões e derivar do lado esquerdo, borá lá?

d d t B θ r 2 2 = - ρ r A 2 + θ i d

Como apenas θ é dependente do tempo, o resto do lado esquerdo pode sair do parênteses:

B r 2 2 θ ˙ = - ρ r A 2 + θ i d

- B A r θ ˙ 2 ρ ( 2 + θ ) = i d

Agora, para determinar em qual θ a corrente induzida é máxima temos que derivar essa corrente e igualar a zero:

d i d d t = 0

d d t - B A r θ ˙ 2 ρ 2 + θ = 0

Aqui vou usar a regra do quociente, saca só

B A r θ ¨ . 2 ρ 2 + θ -   2 ρ θ ˙ 2 B A r 2 ρ 2 + θ 2 = 0

Parece que ficou feio, não é? Mas é assim mesmo! Daqui a pouco as coisas vão se resolver, saca só. Passando o denominador pro outro lado multiplicando ele zera, pois temos um 0 do lado direito da equação, assim ficamos só com o numerador:

B A r θ ¨ . 2 ρ 2 + θ -   2 ρ θ ˙ 2 B A r = 0

B A r θ ¨ . 2 ρ 2 + θ = 2 ρ θ ˙ 2 B A r

Daí conseguimos cancelar 2 ρ B A r dos dois lados:

θ ¨ . 2 + θ = θ ˙ 2

E agora vamos lá no passo 1 resgatar os valores de θ ,   θ ˙   e   θ ¨ do passo 1:

α 2 + α t 2 2 = α t 2

2 α + α 2 t 2 2 = α 2 t 2

Passando tudo para o mesmo lado e igualando a zero temos:

α 2 t 2 - α 2 t 2 2 - 2 α = 0

α 2 t 2 2 - 2 α = 0

Olha só! Chegamos a uma equação de segunda ordem em t . Agora ficou tranquilo de resolver!

α 2 t 2 2 = 2 α

t 2 = 2 2 α

Resgatando o valor de α do passo 1:

t = ± 4 α = ± 4 12 = ± 0,57 s

Mas como queremos apenas a solução positiva: t = 0,577 e o valor de θ ( 0,577 ) é:

θ 0,577 = α 0,577 2 2 = 12 0,577 2 2 = 2 r a d

Passo 5

Letra d:

E a corrente máxima vai ser quando θ = 2   r a d , ou quando t = 0,57 s . Do passo anterior encontramos uma expressão para a corrente induzida, vai lá dar uma espiadela (logo antes de derivarmos a expressão):

i d = - B A r θ ˙ 2 ρ ( 2 + θ )

E sabendo as expressões de θ e θ ˙   temos:

i d = - B A r α t 2 ρ 2 + α t 2 2

Agora é só substiuir os valores:

i d = - 0,15 ( 12 × 10 - 6 ) . 24 × 10 - 2 . 12 . ( 0,577 ) 2 . 1,70   ×   10 - 8 2 + 12 . 0,577 2 2 = - 1,83 A

O sinal indica que é oposto ao sentido positivo da corrente no circuito =)

Resposta

a ) R = 1,3 × 10 4 ( 2 + θ )

b ) φ = B θ r 2 2 = 4,32 × 10 - 3 θ

c ) θ = 2 r a d

d ) i d = 1,83 A

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