Enunciado

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Na Fig. 37-35, três espaçonaves estão viajando na mesma direção e no mesmo sentido. As velocidades das espaçonaves em relação ao eixo x de um referencial inercial (a Terra, por exemplo) são v A = 0,900 c , v B e v C = 0,800 c . (a) Qual deve ser o valor de v B para que as naves A e C se aproximem da nave B com a mesma velocidade relativa? (b) Qual é essa velocidade relativa?

Passo 1

Fala galerinha, beleza? Bora resolver um probleminha sobre relatividade?

A sacada para resolver o problema é passar as velocidades para o referencial de v B . Vamos chamar esse referencial de S ' , enquanto o referencial do desenho é S .

Em S , temos que

v A = + 0,900   c                       v C = + 0,800   c

A velocidade de S ' com relação a S é v B .

A fórmula que transforma as velocidades do referencial S para o referencial S ' é

u ' = u - v 1 - u v c 2

Nessa última expressão, u é a velocidade medida em S , u ' é a velocidade medida em S ' e v é a velocidade de S ' com relação a S . Com isso, as velocidades das naves A e C, vistas por um observador na nave B (em S ' ), são

v A ' = v A - v B 1 - v A v B c 2                 e             v C ' = v C - v B 1 - v C v B c 2

Substituindo v A e v C :

v A ' = 0,9 c - v B 1 - 0,9 c ⋅ v B c 2                   e           v C ' = 0 , 8 c - v B 1 - 0 , 8 c ⋅ v B c 2

Passo 2

Para que as velocidades relativas de aproximação à nave B sejam iguais, devemos ter

v A ' = - v C '

O sinal de menos aparece pois para ambas as naves estarem se aproximando da nave B, elas devem estar se movendo em sentidos contrários.

Assim,

0,9 c - v B 1 - 0 , 9 v B c = - 0,8 c - v B 1 - 0,8 v B c

Para melhorar a relação, vamos escrever:

c 0,9 - β 1 - 0,9   β = c β - 0,8 1 - 0,8 β ,                 β = v B c

Simplificando c e multiplicando em cruz:

0,9 - β 1 - 0,8 β = 1 - 0,9 β β - 0,8

0,9 - 0,72 β + 0,8 β 2 - β = β - 0,8 - 0,9 β 2 + 0,72 β

1,7 β 2 - 3,44 β + 1,7 = 0

As soluções dessa equação do segundo grau são

β = 0,858               o u             β = 1,166

Como β ≤ 1 , temos que

v B c = 0,858

Assim, a velocidade da nave B deve ser

v B = 0,858   c

Passo 3

A velocidade relativa será simplesmente:

v A ' = 0,9 c - v B 1 - 0,9 c ⋅ v B c 2 = 0,9 c - 0,858   c 1 - 0,9 c ⋅ 0,858   c c 2

Fazendo as contas:

v A ' = - v C ' = 0,185   c

Resposta

v A ' = - v C ' = 0,185   c

v B = 0,858   c

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