Enunciado

Na Fig. 6-62, um bloco de 5,0   k g se move para cima ao longo de um plano inclinado de ângulo θ = 37 ° ao mesmo tempo em que sofre a ação de uma força horizontal F → de módulo 50   N . O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano é 0,30 . Quais são (a) o módulo e (b) o sentido (para cima ou para baixo ao longo do plano inclinado) da aceleração do bloco? A velocidade inicial do bloco é 4,0   m / s . (c) Que distância o bloco sobe no plano? (d) Depois de atingir o ponto mais alto, o bloco permanece em repouso ou escorrega para baixo?

Passo 1

Vamos iniciar esta questão fazendo o DCL para o bloco:

A partir da ilustração podemos visualizar melhor a disposição das forças e aplicar a segunda lei de Newton aos eixos:

e i x o   x :       F cos ⁡ θ - f k - m g sin ⁡ θ = m a       e q . 1

e i x o   y :       N - F sin ⁡ θ - m g cos ⁡ θ = 0       e q . 2

Aqui supomos que a aceleração está no sentido positivo do eixo x , ou seja, aponta para cima. Caso essa suposição seja falsa, encontraremos o valor da aceleração negativa ao resolver este problema.

Além disso, devemos nos lembrar que a força de atrito cinético pode ser calculado usando a seguinte relação:

f k = μ k N       e q . 3

Passo 2

Vamos iniciar, isolando a aceleração na e q . 1 e já substituindo a e q . 3 :

a = F cos ⁡ θ - μ k N - m g sin ⁡ θ m

Como não temos o módulo da normal, podemos obtê-lo usando a e q . 2 :

N = F sin ⁡ θ + m g cos ⁡ θ       e q . 4

Substituindo esta expressão na equação da aceleração:

a = F cos ⁡ θ - μ k F sin ⁡ θ - μ k m g cos ⁡ θ - m g sin ⁡ θ m

Substituindo os valores dado no problema:

a = 50 cos ⁡ 37 ° - 0,3 50 sin ⁡ 37 ° - 0,3 5 × 9,8 cos ⁡ 37 ° - 5 × 9,8 sin ⁡ 37 ° 5

a = - 2,06   m / s 2

Como encontramos a aceleração negativa, isto mostra que supomos o sentido errado inicialmente e, portanto, a aceleração aponta para baixo.

Passo 3

Para determinar a distância que o bloco sobe no plano inclinado, podemos usar a equação de Torricelli, uma vez que temos a velocidade inicial, a velocidade final e sabemos que este é um movimento com aceleração constante, calculada no passo anterior. Assim:

v 2 = v 0 2 - 2 a ∆ x

0 2 = 4 2 - 2 × 2,06 × ∆ x

Isolando ∆ x :

∆ x = 4 2 2 × 2,06 = 3,88   m

Passo 4

Para determinar se o bloco permanecerá em repouso quando alcançar a altura máxima, vamos aplicar a segunda lei de Newton, no qual o eixo x está em equilíbrio:

F cos ⁡ θ - P sin ⁡ θ - f s = 0

Isolando f s :

f s = F cos ⁡ θ - m g sin ⁡ θ

Substituindo os valores:

f s = 50 cos ⁡ 37 ° - 5 × 9,8 sin ⁡ 37 ° = 10,44   N

Com este valor em mãos, vamos compará-lo com o módulo da força de atrito cinético, pois somente temos o coeficiente de atrito cinético em mãos. Para tanto, devemos lembrar que a força de atrito estático deve ser sempre maior ou igual a força de atrito cinético, nunca maior. Assim, se o valor da força de atrito cinético for maior do que os 10,44   N calculado acima, então o bloco permanecerá em repouso. Para calcualr a força de atrito cinético, vamos substituir a e q . 4 na e q . 3 :

f k = μ k F sin ⁡ θ + m g cos ⁡ θ = 0,3 50 sin ⁡ 37 ° + 5 9,8 cos ⁡ 37 °

f k = 20,77   N

Como f s < f k , então o bloco permanecerá em repouso ao atingir a altura máxima.

Resposta

  1. a = 2,06   m / s 2 ;
  2. P a r a   b a i x o ;
  3. ∆ x = 3,88   m ;
  4. P e r m a n e c e   e m   r e p o u s o .
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