Enunciado

A Figura 18.17 mostra uma esfera composta de hemisférios de materiais dielétricos distintos. O campo elétrico do lado no hemisfério esquerdo é constante, dado por E → = 1,0   k V / m m   i → + j → . Qual é o campo elétrico no hemisfério direito?

Passo 1

Esse é um problema em devemos usar as condições de contorno apresentadas na seção 18.7 do livro! Você deve ter visto que a componente do campo paralela a interface é a mesma dos dois lados, porém a componente perpendicular sofre uma alteração.

Vamos chamar o campo do lado esquerdo de E → e s q , de modo que

E → e s q = 1,0   i → + j →

A componente na direção i → é a componente perpendicular e a componente na direção j → é a paralela:

E e s q ∥ = 1,0                       E e s q ⊥ = 1,0

Já o campo no meio da direita pode ser escrito como

E → d i r = E d i r ∥   j → + E d i r ⊥ i →

As componentes paralelas não mudam, de modo que

E d i r ∥ = E e s q ∥ = 1,0   k V / m m

Passo 2

Para achar a relação entre as componentes perpendiculares, temos que lembrar da relação entre as componentes perpendiculares do vetor deslocamento elétrico:

D d i r ⊥ - D e s q ⊥ = σ

Nessa última relação, σ é a densidade de carga acumulada na interface, que nesse caso é zero, de modo que

D d i r ⊥ = D e s q ⊥

Sabemos também que E → = κ ϵ 0 D → , de modo que

D d i r ⊥ = D e s q ⊥ → E d i r ⊥ κ d i r = E e s q ⊥ κ e s q → E d i r ⊥ = κ d i r κ e s q E e s q ⊥

Como κ d i r = 4 e κ e s q = 2 , segue que

E d i r ⊥ = 4 2 ⋅ 1,0 = 2,0 k V m m

Portanto,

E → d i r = 1,0   k V / m m   2 i → + j →

Resposta

E → d i r = 1,0   k V / m m   2 i → + j →

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