Enunciado

A Figura 18.18 mostra uma esfera metálica de raio igual a 1,00   c m , com carga de 0,100   μ C , incrustada em uma esfera concêntrica de náilon, cujo raio é 3,00   c m . Calcule a densidade superficial de carga de polarização na superfície (a) interna e (b) externa da esfera de náilon.

Passo 1

Para encontrar a densidade de carga de polarização, o primeiro passo é encontrar o vetor polarização no meio dielétrico (náilon). Para isso, achamos primeiro e vetor deslocamento elétrico considerando apenas a carga livre:

∯ D → ⋅ d A → = q L

Consideremos uma superfície gaussiana esférica de raio r maior que o raio da esfera metálica e menor que o raio da esfera dielétrica de náilon. A integral de fluxo fica:

D ⋅ 4 π r 2 = q L

A carga livre dentro dessa superfície é simplesmente a carga da esfera metálica: q L = Q , de modo que

D = Q 4 π r 2

Como esse vetor é radial, podemos escrever

D → = Q 4 π r 2 r ^

Essa é a magia do vetor deslocamento elétrico: para calcular ele a gente esquece totalmente as cargas de polarização e brinca com a lei de Gauss como se estivéssemos no vácuo!

Passo 2

A relação entre os vetores D → , E → e P → é dada por

D → = ϵ 0 E → + P →

Sabemos também que

P → = ϵ 0 κ - 1 E → → ϵ E → = P → κ - 1

Assim,

D → = P → κ - 1 + P → = κ κ - 1 P → → P → = κ - 1 κ D →

Usando a expressão do passo 1:

P → = κ - 1 κ Q 4 π r 2 r ^

Passo 3

Por fim, temos que lembrar que a densidade superficial de carga de polarização σ P acumulada na superfície do dielétrico é dada por

σ P = P → ⋅ n ^ ,

onde n ^ é versor normal à superfície do dielétrico, que aponta para fora dele.

Na superfície interna do dielétrico, temos n ^ = - r ^ e r = a = 1,00   c m , de modo que

σ P i n t = κ - 1 κ Q 4 π a 2 r ^ ⋅ - r ^ = - κ - 1 κ Q 4 π a 2

Já na superfície externa com n ^ = + r ^ e r = b = 3,00   c m :

σ P e x t = κ - 1 κ Q 4 π b 2 r ^ ⋅ r ^ = + κ - 1 κ Q 4 π b 2

Não achei a constante dielétrica do náilon na tabela do livro, porém pesquisei na internet e encontrei κ = 3,4 , de modo que

σ P i n t = - 2,4 3,4 ⋅ 0,100 ⋅ 10 - 6 4 ⋅ 3,14 ⋅ 1,00 ⋅ 10 - 2 2

σ P e x t = + 2,4 3,4 ⋅ 0,100 ⋅ 10 - 6 4 ⋅ 3,14 ⋅ 3 , 00 ⋅ 10 - 2 2

Fazendo as contas:

σ P i n t = - 5,6 ⋅ 10 - 5   C / m 2

σ P e x t = + 6,2 ⋅ 10 - 6   C / m 2

Resposta

σ P i n t = - 5,6 ⋅ 10 - 5   C / m 2

σ P e x t = + 6,2 ⋅ 10 - 6   C / m 2

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