Enunciado

A Figura 21.11 mostra uma barra conduzindo corrente com uma densidade j → ortogonal a um campo magnético B → . Suponha que os portadores de corrente tenham cargas positivas q e que sua densidade seja n . (a) Mostre que em um regime permanente as duas faces indicadas na figura acumulam densidade de cargas que neutralizam a força de Lorentz. (b) Mostre que o campo elétrico ortogonal a j → é dado pela equação 21.31. (c) Calcule o valor de σ .

Passo 1

Antes de começarmos a discutir o problema, considere a dimensões marcadas na figura:

A corrente que flui no fio é dada pelo produto de j com a área A = a b :

I = j   a b

Podemos relacionar também a densidade de corrente j → com a velocidade v → de cada portador de carga por

j → = n q   v →

A força magnética que atua sobre cada carga é dada pela força de Lorentz:

F → m = q   v → × B →

Com o sistema de coordenadas que eu adotei na figura, temos que

v → = - v   x ^                                 B → = B   z ^

Assim,

F → m = q - v   x ^ × B   z ^ = + q v B   y ^

Escrevendo em termos da corrente, temos que

v = j n q → F → m = q ⋅ j n q ⋅ B   y ^ = j B n   y ^

Com isso, as cargas positivas vão se deslocar para a direita (direção + y ^ ) e haverá um acúmulo de carga positiva na superfície lateral direita, indicada por + σ na figura. Já na superfície lateral esquerda, haverá um acúmulo de carga negativa, com densidade superficial - σ .

Isso vai fazer com que apareça um campo elétrico uniforme na direção - y ^ :

E → = - E   y ^

Esse campo é igualzinho o campo de um capacitor de placas paralelas:

E = σ ϵ 0

Com isso, vai aparecer uma força elétrica sobre as cargas q , dada por

F → e = q E → = - q E   y ^

Essa força vai anular a força magnética, que é exatamente o que o exercício pediu para gente mostrar no item (a)!

Passo 2

No item (b), queremos demonstrar a equação 21.31, que basicamente diz que

E = B n q j

Para demonstrar isso basta fazer

F → m + F → e = 0 → → q E = j B n

Daí, achamos

E = B j n q

Por fim, para o item (c) basta usar a expressão do campo elétrico uniforme:

E = σ ϵ 0 → σ ϵ 0 = B j n q

Logo,

σ = ϵ 0 B j n q

Resposta

σ = ϵ 0 B j n q

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