Enunciado

Na figura abaixo duas partinadoras com 50 k g de massa, que se movem com uma velocidade escalar de 1,4 m / s , se aproximam em trajetórias paralelas separadas por 3 m . Uma das patinadoras carrega uma vara comprida, de massa desprezível, segurando-a em uma das extremidades, e a outra se agarra à outra extremidade ao passar pela vara, o que faz com que as patinadoras passem a descrever uma circunferência em torno do centro da vara. Suponha que o atrito entre as partinadoras e o gelo é desprezível. Qual é

( a ) o raio da circinferência;

( b ) a velocidade angular das patinadoras,

( c ) e a energia cinética do sistema das duas partinadoras?

Em seguida, as patinadoras puxam a vara até ficarem separadas por uma distância de 1 m . Nesse instante, qual é

( d ) a velocidade angular das patinadoras e

e a energia cinética do sistema?

( f ) De onde vem a energia cinética adicional?

Passo 1

O raio da circunferência vai ser bem no centro da barra, ou seja em r = 1,5 m . E sua velocidade angular é dada pela famosa fórmula “quem vê bunda ri”:

v = ω r

Ou seja,

ω = v r = 1,4 1,5 = 0,93   r a d / s

Passo 2

O problema pede a energia cinética do sistema. O sistema só vai ter energia cinética de rotação. Vamos calcular primeiro o momento de inércia das partinadoras:

I = ∑ m r 2 = 2 . m R 2 = 2.50 . 1,5 2 = 225 k g . m ²

Agora podemos calcular a energia de rotação:

E r o t = I ω 2 2 = 225 . 0,93 2 2 = 97,30 J

Passo 3

Elas encurtam a distância entre elas, ficando com um raio de rotação de 0,5 m . Ao fazerem isso a velocidade de rotação irá aumentar para conservar o momento angular L = I ω .

Antes o momento angular é dado por

L i = I i ω i = 2 m R i 2 ω i

E depois é dado por

L f = I f ω f = 2 m R f 2 ω f

Pela conservação do momento angular

L i = L f

2 m R i 2 ω i = 2 m R f 2 ω f

ω f = R i R f 2 ω i = 1,5 0,5 2 0,93

ω f = 8,37   r a d / s

Passo 4

A nova energia cinética vai ser:

E = I ω 2 2 = 2 m R f 2 ω f 2 2 = m R f 2 ω f 2 = 50 ⋅ 1 2 ⋅ 8,37 2

E = 3502,85   J

Mas como pode ter aumentado? Da onde veio? Bom! Veio justamente da energia interna das patinadoras!

Resposta

( a )   1,5 m  

b 0,93   r a d / s

c 97,30 J

d 8,37   r a d / s

e 3502,85 J

f e n e r g i a   i n t e r n a   d a s   p a r t i n a d o r a s

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