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Exercícios Resolvidos de Fundamentos de Física Volume 3 - Eletromagnetismo 9ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick

Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 3 - Eletromagnetismo 9ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick - 22.8 - 48

Na figura abaixo, um elétron (e) é liberado a partir do repouso no eixo central de um disco uniformemente carregado de raio R. A densidade superficial de cargas do disco é + 4,00   μ C / m 2 . Determine o módulo da aceleração inicial do elétron se for liberado a uma distância (a) R, (b) R/100, (c) R/1000 do centro do disco. (d) Por que o módulo da aceleração quase não varia quando o elétron está próximo do disco?

Passo 1

Letras (a), (b) e (c)

Vamos fazer os três primeiros itens de uma vez. Pensa comigo: se a gente souber o campo elétrico que o disco produz lá onde está o elétron, você concorda comigo que a gente consegue calcular a aceleração? É só usar aquela velha equação:

m e a = e E

a = e E m e

Como nós já sabemos quanto vale “e” (carga elementar) e “ m e ” (massa do elétron), pois são valores tabelados, a gente “só” precisa achar o campo E. Aí que mora o problema. Mas não temos medo de problemas, temos? A gente não sabe achar (ainda) o campo gerado por um disco como aquele da figura do enunciado, mas nós sabemos o campo gerado por um pequeno anel. Quando a gente diz pequeno anel, na prática, é um anel com espessura muito pequena, tipo uma circunferência. Olha a figura, o anel é aquele amarelinho:

A estratégia, meu povo, é pegar a contribuição de todos os anéis e somar tudo. Contribuição de várias coisas pequenas lembra o quê? Isso mesmo, vamos integrar.

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Passo 2

Vamos precisar da equação do campo que o pequeno anel gera em um ponto P distante z acima do centro do anel:

E = K q z z 2 + r 2 3 / 2

Onde q é a carga do anel e K é o K de sempre, a constante eletrostática. Eu sei que é meio chato jogar a fórmula, mas é por causa do seguinte: achar o campo elétrico que um anel gera, é, por si só, uma questão, e que está resolvida na página 29 do Halliday da nona edição 😉. Sim, para resolver essa questão, precisaríamos resolver duas questões, na verdade.

O próximo passo é trocar “E” por ”dE” e ”q” por ”dq”, porque vamos pegar não um, mas vários anéis com raios diferentes. Cada anelzinho de raio “r” produz um campo:

d E = K . d q . z z 2 + r 2 3 / 2

d E = K z z 2 + r 2 3 / 2 d q

Vamos integrar!

∫ d E = ∫ K z z 2 + r 2 3 / 2 d q

E = ∫ K z z 2 + r 2 3 / 2 d q

Será que a gente cosegue integrar o lado direito? Da forma que está, não dá. A variável do integrando é o “r” e a diferencial é “dq”. Mas se em vez de “dq” fosse ”dr” a gente conseguiria? Aí, sim, a gente consegue. Então vamos fazer isso.

Pra isso, vamos usar a densidade superficial de carga (que vamos chamar de σ ), até por isso que o enunciado deu. Vamos lá: o que é a densidade superficial de carga? Não é carga dividido pela área? Então:

σ = q π r 2

q = σ π r 2

Agora deriva implícito dos dois lados (aquele negócio de derivar e escrever a diferencial do lado)

( 1 ) d q = ( 2 σ π r ) d r

Entre parêntesis coloquei as derivadas. Então fica assim:

d q = 2 σ π r d r

Agora pega isso e joga lá naquela integral:

E = ∫ 0 R K z z 2 + r 2 3 / 2 2 σ π r d r

E = 2 σ π K z ∫ 0 R r d r z 2 + r 2 3 / 2

Essa integral a gente resolve assim oh: chama z 2 + r 2 = u 2 . Então r d r = u d u (apenas derivei implícito e cortei o dois que aparece). Agora pega essas duas coisas e substitui lá na integral.

E = 2 σ π K z ∫ u d u u 2 3 / 2    

E = 2 σ π K z ∫ u d u u 3  

E = 2 σ π K z ∫ d u u 2  

Como ∫ d u u 2 = - 1 u + C , temos ∫ r d r z 2 + r 2 3 / 2 = - 1 z 2 + r 2   + C . Então, fica assim oh

E = 2 σ π K z - 1 z 2 + r 2 0 R  

Substituindo os limites de integração dá isso aqui:

E = 2 σ π K 1 - z z 2 + R 2

Ufa! Achamos o campo gerado pelo disco. Agora estamos quase no fim.

Passo 3

Só precisamos agora usar aquela equação:

a = e E m e

a = 2 e σ π K m e 1 - z z 2 + R 2

Para resolver os itens (a), (b) e (c), vamos trocar z por R, R/100 e R/1000, respectivamente:

(a):

a = 2 e σ π K m e 1 - R R 2 + R 2 = e σ π K m e 2 - 2 = 1,16.10 16   m / s 2

(b):

a = 2 e σ π K m e 1 - R 100 R 2 10000 + R 2 = 3,94.10 16   m / s 2

(c):

a = 2 e σ π K m e 1 - R 1000 R 2 1000000 + R 2 = 3,97.10 16   m / s 2

Passo 4

Letra (d)

Uma forma (correta) de explicar é o fato de que quando o elétron está bem perto do centro, ele não “sente” os efeitos das bordas. A outra maneira, que eu prefiro, é pensar que o disco se comporta como uma placa infinita quando o elétron está muito próximo. E daí? Daí que uma placa infinita tem campo elétrico constante, então produz uma aceleração constante.

Se essa história de aproximar o disco por uma placa infinita não te convence, devo te dizer que você faz isso o tempo inteiro. Você diz que perto da terra a gente acelera pra baixo com aceleração constante g, mas se você estudou gravitação sabe que a aceleração muda com a distância até o centro da Terra. Você sabe disso, mas diz que é sempre g mesmo e não tá nem aí, porque perto da superfície terrestre quase não faz diferença a altura, mesmo. O g muda muuuito pouco. Com o elétron e o disco é EXATAMENTE a mesma coisa.

Resposta

Letra (a): 1,16.10 16   m / s 2

Letra (b): 3,94.10 16   m / s 2

Letra (c): 3,97.10 16   m / s 2

Letra (d): Perto do centro, o elétron não sente os efeitos das bordas.

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