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A figura abaixo mostra uma estrutura rígida formada por um aro de raio R e massa m e um quadrado feito de quatro barras finas de comprimento R e massa m . A estrutura rígida gira com velocidade constante em torno de um eixo vertical, com um período de rotação de 2,5 s . Supondo que R = 0,5 m e m = 2 k g , calcule

( a ) o momento de inércia da estrutura em relação ao eixo de rotação

( b ) o momento angular da estrutura em relação ao eixo.

Passo 1

Faalaaa aii galerinha bonita, tudo tranks!? Bora lá treinar um pouco o cálculo do momento angular?

Belezoca, como queremos o momento angular total sobre um eixo, mas temos dois objetos completamente diferentes, podemos somar os momentos inércia de cada um deles, de forma que o momento de inércia total é dado como:

I = I a r o + I q u a d r a d o

Show de bola, então primeiro vamos começar calculando o momento de inércia do aro I a r o . Sabemos que o momento de inércia de um aro circular em relação a um eixo que passa pelo seu centro é

I c m = m R 2 2

Mas como o eixo está deslocado do centro, vamos usar o teorema dos eixos paralelos para encontrar o momento de inércia em relação a esse novo eixo.

Esse teorema nos diz que o momento de inércia em relação a um eixo paralelo ao que passa pelo centro de massa, vai ser:

I = I c m + m h 2

Como a distância entre o centro de massa do aro (seu centro) e o eixo de rotação é h = R , podemos calcular:

I a r o = m R 2 2 + m R 2

I a r o = 3 2 m R 2

Passo 2

Iradoso, agora o momento de inércia do quadrado:

Aqui teremos que tomar cuidado, pois não trataremos o quadrado como sendo um objeto único, na verdade vamos calcular o momento de inércia de cada lado do quadrado, pois cada um deles vai possuir um momento de inércia diferente em relação ao eixo, sendo assim, o momento total do quadrado será a soma de todos esses momentos individuais.

O lado que está sobre o eixo de rotação não contribui para o momento de inércia. Os lados perpendiculares ao eixo de rotação tem momento de inércia:

I 1 = m R 2 3

E para o lado mais distante, vamos usar novamente o teorema dos eixos paralelos:

Como eixo que passa pelo centro de massa seria ao longo do lado do quadrado, ele também não conta para o momento de inércia, e sua contribuição seria:

I l a d o = I c m + m R 2

I l a d o = 0 + m R 2

I l a d o = m R 2

Agora o momento do quadrado total vai ser a soma de todos esses momentos de inércia, tal que:

I q u a d r a d o = 0 + 1 3 m R 2 + 1 3 m R 2 + m R 2

I q u a d r a d o = 5 3 m R 2

Assim o momento de inércia total vai ser:

I = I a r o + I q u a d r a d o

I = 3 2 m R 2 + 5 3 m R 2

I = 19 6 m R 2

Com R = 0,5   m e m = 2   kg , obtemos que:

I = 19 6 × 2 × 0,5 2

I = 1,58   kg.m²

Passo 3

Belejóia, agora vamos determinar a velocidade angular, para daí poder calcular o momento angular.

Sabendo que o período de revolução é 2,5   s a velocidade ω será:

ω = 2 π T

ω = 2 π 2,5

ω = 2,51   rad/s

Passo 4

Agora sim podemos calcular o momento angular L . Lembrando que ele se relaciona com o momento de inércia e com a velocidade angular, desse jeito aqui:

L = I ω

L = 1,58 × 2,51

L = 3,97   kg.m²/s

Show de bolinhaaas!

Resposta

  1. 1,58   kg.m²  
  2. 3,97   kg.m²/s

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