1.

O momento angular de um volante com um momento de inércia de 0,140   k g   .   m 2 em relação ao eixo central diminui de 3,00 para 0,800   k g   .   m 2 / s em 1,50   s . (a) Qual é o módulo do torque médio em relação ao eixo central que age sobre o volante durante esse período? (b) Supondo que uma aceleração angular constante, de que ângulo o volante gira? (c) Qual é o trabalho realizado sobre o volante? (d) Qual é a potência média do volante?

Resolução
2.

Três partículas de massas iguais a m movem-se na ausência de forças externas com velocidades v → 1 = - v î ,   v → 2 = - v î e v → 3 = - v î + v j ^ . Num dado instante elas ocupam as posições indicadas na figura abaixo. O vetor momento angular total L → O deste sistema de partículas em relação a origem O do eixo de coordenadas da figura é

(a) 0 →

(b) - 2 a v m k ^

(c) a v m k ^

(d) - a v m k ^

(e) - 3 a v m k ^

Resolução
3.

Considere uma partícula de massa m presa ao teto em um suporte fixo por meio de um fio ideal de comprimento d , formando um pêndulo. A partícula é solta a partir do repouso, com o fio esticado, a uma distância d / 2 do teto; g é o módulo da aceleração local da gravidade. Qual é o módulo do momento angular da partícula com relação ao ponto de sustentação do fio quando ela passa pelo ponto mais baixo da trajetória?

  1. L = m d 2 g d
  2. L = m d g d
  3. L = 0
  4. L = m d g d / 2
  5. L = m d 2 g d / 3
Resolução
4.

A Fig. 11-46 mostra o torque τ que age sobre um disco inicialmente estacionário que pode girar em torno do seu centro como um carrossel em função do tempo. Qual é o momento angular do disco em relação ao eixo de rotação nos intantes (a) t = 7,0   s e (b) t = 20   s ?

Resolução
5.

A figura mostra a trajetória reta de uma partícula de massa m no plano x y com velocidade constante v → . É INCORRETO afirmar sobre o movimento que:

(a) o momento angular em relação a qualquer ponto do plano é constante.

(b) o momento angular em relação à origem é nulo.

(c) o momento angular em relação ao ponto de interseção da trajetória com o eixo y é nulo.

(d) o torque total sobre a partícula é nulo.

(e) a força resultante sobre a partícula é nula.

Resolução
6.

Um avião de 1200   k g está voando em uma linha reta a 80   m / s , 1,3   k m acima do solo. Qual é o módulo do momento angular do avião em relação a um ponto no solo verticalmente abaixo do local onde ele se encontra?

Resolução
7.

No instante da Fig. 11-41, duas partículas se movem em um plano x y . A partícula P 1 possui uma massa de 6,5   k g e uma velocidade v 1 = 2,2   m / s e está a uma distância d 1 = 1,5   m do ponto O . A partícula P 2 possui uma massa de 3,1   k g e uma velocidade v 2 = 3,6   m / s e está a uma distância d 2 = 2,8   m do ponto O . Quais são (a) o módulo e (b) a orientação do momento angular resultante das duas partículas em relação ao ponto O ?

Resolução
8.

Uma esfera de massa M , raio R e momento de inércia I = 2 / 5 M R 2 , em relação ao eixo que passa pelo seu centro de massa, desce um plano inclinado A - B (ver figura), rolando sem deslizar. A esfera parte do repouso e desce até o final do plano inclinado (ponto B ), situado a uma altura h em relação ao solo. Neste instante, ela tem velocidade angular ω 0 , e entra em queda livre. Afirma-se que: I ) Imediatamente antes de tocar o solo, a velocidade angular da esfera é ω = ω 0 2 + 10 g h / 7 R 2 . I I ) Imediatamente antes de tocar o solo, a velocidade angular da esfera continua com valor ω 0 . I I I ) O momento angular da esfera mantém-se perpendicular ao plano do movimento. I V ) Ao longo da queda livre, a energia cinética de rotação da esfera permanece constante. Qual(ais) da(s) afirmação(ões) acima está(ão) incorreta(s)?

  1. Somente a I .
  2. Somente a I I .
  3. I e I V .
  4. I I e I I I .
  5. I e I I I .
Resolução
9.

Dois alteres 1 e 2 mostrados na figura giram em torno de seus respectivos centros de massa em torno de um eixo fixo e perpendicular ao seu comprimento. O haltere 1 gira com velocidade angular constante ω e o haltere 2 com velocidade angular constante ω / 2 . No haltere 1 as massas de suas extremidades são iguais a m e no haltere 2 2 m . Os módulos de seus momentos angulares L 1 e L 2 em relação aos respectivos centros de massa e as suas energias cinéticas K 1 e K 2 cinéticas são relacionados respectivamente como

  1. L 1 = L 2 e K 1 > K 2
  2. L 1 = L 2 e K 1 = K 2
  3. L 1 = L 2 e K 1 < K 2
  4. L 1 < L 2 e K 1 < K 2
  5. L 1 > L 2 e K 1 > K 2
Resolução
10.

Um aro elíptico homogêneo de massa M é posto para girar com velocidade ω ao redor do seu eixo maior, em relação ao qual tem momento de inércia I 1 . Em seguida, é colocado para girar com mesma velocidade angular ao redor de seu eixo menor, em relação ao qual tem momento de inércia I 2 . Veja as figuras. Sobre os módulos dos momentos angulares L 1 e L 2 dos aros nas respectivas situações 1 e 2 , podemos afirmar que:

  1. L 1 < L 2 , pois o momento de inércia I 1 < I 2 ;
  2. L 1 = L 2 , pois trata-se do mesmo sistema girando com a mesma velocidade angular;
  3. L 1 > L 2 , pois o momento de inércia I 1 > I 2 ;
  4. L 1 > L 2 , pois o momento de inércia I 1 < I 2 ;
  5. L 1 < L 2 , pois o momento de inércia I 1 > I 2 ;
Resolução
11.

Um haltere é formado por duas partículas de massa m , ligadas por uma barra rígida de massa desprezível e comprimento 2 a , e gira com velocidade angular ω 1 em torno de um eixo fixo perpendicular a barra e passando pelo seu ponto médio. Um segundo haltere é formado por duas partículas de massa m / 2 , ligadas por uma barra rígida de massa desprezível e comprimento 4 a , e gira com velocidade angular ω 2 em torno de um eixo fixo perpendicular a barra e passando pelo seu ponto médio. Considerando que os halteres têm o mesmo momento angular, podemos afirmar que:

  1. ω 2 = ω 1
  2. ω 2 = 2 ω 1
  3. ω 2 = ω 1 / 2
  4. ω 2 = 2 ω 1
  5. ω 2 = ω 1 / 2
Resolução
12.

Uma partícula move-se com velocidade constante v → ao longo de uma reta paralela ao eixo O X que corta o O Y em y = d   d > 0 . Sejam L → 1 , L → 2 e L → 3 os momentos angulares da partícula, relativos à origem O , nos pontos 1 , 2 e 3 , como indicados na figura. Os módulos dos momentos angulares são tais que

  1. L → 1 < L → 2 < L → 3 ;
  2. L → 1 > L → 2 > L → 3 ;
  3. L → 1 = L → 2 = L → 3 ;
  4. L → 1 < L → 2 = L → 3 ;
  5. L → 1 = 0 e L → 2 < L → 3 ;
Resolução
13.

Uma barra delgada homogênea e uniforme, de massa M e comprimento l , é articulada num pino O , que passa por uma de suas extremidades, e pode girar sem atrito num plano vertical. Liberada a partir do repouso na posição horizontal, a barra sofre uma colisão elástica com um pêndulo ao passar pela posição vertical, como representa a massa m de dimensões desprezíveis presa à extremidade da haste. O pêndulo também pode oscilar em torno do pino, sem atrito, no mesmo plano vertical que a barra. Sabe-se que o pêndulo encontrava-se em repouso antes da colisão com a barra, e que o momento de inércia da barra em relação ao eixo perpenducular ao plano vertical e que passa pelo pino é I = 1 / 3 M l 2

  1. Determine a velocidade angular da barra, ω 0 , imediatamente antes da colisão com o pêndulo.
  2. Quais das seguintes grandezas: o momento linear e o momento angular em relação a O são conservadas na colisão? Justifique a sua resposta.
  3. Determine a velocidade angular da barra, ω ' , imediatamente após a colisão.
  4. Determine o valor da razão m / M para que a barra permaneça em repouso depois da colisão.
Resolução
14.

Considere uma partícula de massa m presa ao teto em um suporte fixo por meio de um fio ideal de comprimento d , formando um pêndulo. A partícula é solta a partir do repouso, com o fio esticado, a uma distância d / 2 do teto; g é o módulo da aceleração local da gravidade. Qual é o módulo do momento angular da partícula com relação ao ponto de sustentação do fio quando ela passa pelo ponto mais baixo da trajetória?

  1. L = m d 2 g d
  2. L = m d g d
  3. L = 0
  4. L = m d g d / 2
  5. L = m d 2 g d / 3
Resolução
15.

Considere um sistema formado por uma partícula e por uma mola ideal, conforme a figura. A partícula pode mover-se sobre uma mesa horizontal lisa sob a ação da força da mola, cuja outra extremidade está presa à mesa. É correto afirmar que:

  1. O momento angular não se conserva consequência da ação da força elástica.
  2. O trabalho da força elástica é nulo, pois trata-se de uma força conservativa.
  3. O sentido da rotação em torno do centro de forças pode mudar pela ação da força elástica.
  4. A energia mecânica sempre aumenta porque sempre há energia potencial armazenada na mola.
  5. O momento angular se conserva porque a reta de ação da força elástica sobre a partícula passa pela origem O .
Resolução
16.

Considere as afirmativas abaixo:

(I) Em uma colisão inelástica, o momento linear do sistema nunca é conservado.

(II) A velocidade do centro de massa de um sistema de partículas é sempre constante.

(III) Forças internas nunca alteram o momento linear total de um sistema de partículas.

(IV) O momento linear e o momento angular de um sistema de partículas sempre se conservam sob a ação de um par de forças externas de mesmo módulo, direção e sentidos opostos.

São verdadeiras apenas as afirmativas:

(a) I

(b) III

(c) II e IV

(d) II e III

(e) III e IV

Resolução
17.

Uma chapa retangular é colocada para girar com velocidade angular constante ω de duas maneiras diferentes, 1 e 2, como indicado na figura. Nos dois casos os eixos de rotação passam pelos seus centros de massa. As relações entre os módulos dos momentos angulares L 1 e L 2 , e entre as energias cinéticas de rotação K 1 e K 2 nas duas situações são

(a) L 1 < L 2 e K 1 > K 2

(b) L 1 < L 2 e K 1 < K 2

(c) L 1 = L 2 e K 1 > K 2

(d) L 1 = L 2 e K 1 < K 2

(e) L 1 > L 2 e K 1 = K 2

Resolução
18.

Três partículas de massas iguais a m movem-se na ausência de forças externas com velocidades v → 1 = - v î ,   v → 2 = - v î e v → 3 = - v î + v j ^ . Num dado instante elas ocupam as posições indicadas na figura abaixo. O vetor momento angular total L → O deste sistema de partículas em relação a origem O do eixo de coordenadas da figura é

(a) 0 →

(b) - 2 a v m k ^

(c) a v m k ^

(d) - a v m k ^

(e) - 3 a v m k ^

Resolução
19.

i Qual é o ângulo θ entre o vetor momento linear p → de uma partícula e o seu vetor momento angular L → ? Justifique

Resolução
20.

Os dois sistemas mostrados na figura estão livres para girar em torno de eixos fixos que passam pelo centro dos discos. Eles diferem apenas pelas duas massas móveis posicionadas a diferentes distâncias do eixo de rotação. Se os blocos, que são iguais, são liberados simultaneamente a partir do repouso, qual das afirmações abaixo é correta?

(A) O bloco da direita chegará primeiro ao chão porque o momento de inércia em relação ao eixo de rotação é maior.

(B) O bloco da direita chegará primeiro ao chão porque o momento de inércia em relação ao eixo de rotação é menor.

(C) O bloco da esquerda chegará primeiro ao chão porque o momento de inércia em relação ao eixo de rotação é maior.

(D) O bloco da esquerda chegará primeiro ao chão porque o momento de inércia em relação ao eixo de rotação é menor.

(E) Os blocos chegarão ao chão ao mesmo tempo.

Resolução
21.

A figura mostra um sistema mecânico simples. Uma haste delgada de massa M e comprimento L está presa em uma extremidade por um pino O e livre para girar sem atrito. Na outra extremidade se encontra presa uma esfera de massa m e raio desprezível. Considere g → = - 9,81   m / s 2   y ^   e a distância vertical O B - = L

Considere agora o movimento do sistema abandonado do repouso no ponto A. Indique com o número apropriado o gráfico que representa cada uma das grandezas físicas do movimento em função do tempo até que o sistema finalmente alcance novamente o repouso no ponto C.

[1] O Momento Angular Total do Sistema.

[2] O Torque que Atua no Sistema

[3] A Energia Potencial Gravitacional.

[4] A Energia Mecânica Total

[5] A variação Δ U g da Energia Potencial Gravitacional.

Resolução
22.

A figura mostra a trajetória reta de uma partícula de massa m no plano x y com velocidade constante v → . É INCORRETO afirmar sobre o movimento que:

(a) o momento angular em relação a qualquer ponto do plano é constante.

(b) o momento angular em relação à origem é nulo.

(c) o momento angular em relação ao ponto de interseção da trajetória com o eixo y é nulo.

(d) o torque total sobre a partícula é nulo.

(e) a força resultante sobre a partícula é nula.

Resolução
23.

Uma bola 1 de raio desprezível e massa m 1 = 0,3   k g encontra-se suspensa na extremidade de um fio inextensível, de massa desprezível e comprimento l = 0,1   m . Ela é atingida por uma bola 2,também de raio desprezível, de massa m 2 = 0,1   k g que desloca-se com velocidade v = 10   m / s , sobre uma canaleta horizontal, cuja extremidade encontra-se na posição da bola 1, como ilustrado na figura. A colisão é elástica.

(a) Determine os vetores velocidade das bolas imediatamente após a colisão.

(b) Determine o vetor velocidade da bola 1 no topo da trajetória.

(c) Calcule a tensão no fio quando a bola 1 está no topo da trajetória.

(d) Calcule o vetor momento angular do sistema em relação ao ponto de suspensão da bola 1 antes e imediatamente após a colisão.

Resolução
24.

Um cilindro oco (raio r = 0.5   m , M = 15   k g ) rola para baixo em um plano inclinado (ângulo α = π 6 ) sem deslizar. Sobre a superfície do cilindro corre um menino (massa m = 30   k g , que pode ser considerada como puntiforme), e ele consegue ficar sempre no ponto mais alto do cilindro. Considere g = 10 m / s 2 .

a ) Calcule o momento de inércia do cilindro em relação ao eixo instantâneo O .

b ) Ache a expressão para momento angular do sistema em torno do ponto O em termos das massas, ângulo, raio e velocidade do centro de massa.

c ) Qual é o torque total de forcas externas sobre o sistema em relação do ponto O ?

d ) Calcule o módulo da aceleração do cento de massa do cilindro.

Resolução
25.

Imagine que um objeto de perfil circular (com raio r , massa m e momento de inércia I ) seja colocado no ponto A da canaleta ilustrada abaixo com velocidade inicial nula. O atrito entre esse objeto e a canaleta é suficiente para que ele role sem deslizar e a resistência do ar é desprezível.

a ) Esboce o diagrama das forças que agem sobre o objeto quando ele está no ponto A da trajetória e escreva as equações do movimento, de translação e de rotação (não é necessário resolvê-las).

b ) O ponto D da trajetória indica o ponto mais alto que o objeto atinge após ser atirado verticalmente para cima, em C . Explique em até duas linhas legíveis porque a velocidade angular do objeto, em torno do seu centro de massa, em C e em D são iguais.

c ) Considere os seguintes perfis de densidade para o objeto (quanto mais escuro, mais denso), todos com a mesma massa. Liste-os, em ordem crescente de momento de inércia.

d ) Para qual dos perfis acima o corpo sobe mais (ou seja, a distância h é menor)?

e ) Calcule a altura h em função dos parâmetros r , m , I , H e R .

Resolução
26.

Considere um sistema de cinco objetos puntiformes dispostos em um plano de acordo com a figura a seguir. Cada um dos quatro objetos periféricos possui massa igual a m , enquanto que o quinto, localizado na origem do sistema de coordenadas indicado na figura, tem massa 2 m . Eles são unidos por hastes rígidas e de massas desprezíveis.

a ) Calcule o momento de inércia do sistema em relação ao eixo passando pelos objetos 2 e 3 .

b ) Calcule o momento de inércia do sistema em relação ao eixo perpendicular ao plano da figura e passando pela origem.

c ) Calcule o momento de inércia do sistema em relação ao eixo perpendicular ao plano da figura e passando pelo ponto M indicado na figura.

d ) O sistema, inicialmente em repouso, recebe um impulso p → conforme ilustra a figura. Qual é a velocidade subsequente do centro de massa? Escreva sua resposta em função de m , d e p = | p → | .

e ) Ainda considerando a situação descrita no item anterior, qual é a velocidade angular do sistema, em torno de seu centro de massa, imediatamente após o impulso? Escreva sua resposta em função de m , d e p = | p → | .

f ) Após o impulso o sistema passa a rodar no sentido anti-horário do plano. Seja m = 0,1   k g e d = 0,2   m . Obtenha o módulo e o sentido do torque aplicado no sistema por uma força resistiva, sabendo que a velocidade angular decresce linearmente de ω i = 2   r a d / s até ω f = 0   r a d / s em 4 segundos.

Resolução
27.

Considere um projétil de massa m movimentando-se no plano x y de um sistema de coordenadas nas situações descritas pelos itens abaixo. Adotamos nesta questão um sistema de unidades arbitrário, onde a constante gravitacional de Newton G é igual a 1 . Expresse seus resultados em função de m onde for necessário.

a ) O projétil desloca-se isoladamente em movimento retilíneo uniforme. Sua posição em função do tempo é dada por r → ( t ) = 10 - 4 t i → + 2 j → onde i →   e j → são os versores dos eixos x e y , respectivamente. Qual é o módulo e o sentido do vetor momento angular do projétil com relação à origem desse sistema de coordenadas? Justifique.

Nos itens subsequentes, considere um planeta de massa M = 20 , com M ≫ m , fixo na origem do sistema de coordenadas. Para os itens b , c e d , o planeta é puntiforme e a condição inicial do projétil é r → ( 0 ) = 2 j → e v → ( 0 ) = - 4 i → .

b ) Determine o vetor momento angular e a energia total do projétil.

c ) Qual é a forma geométrica que descreve a trajetória? Justifique. Dica: ache o raio de equilíbrio minimizando o potencial efetivo e tire suas conclusões.

d ) Faça um esboço bem qualitativo da trajetória do projétil com relação à posição do planeta indicando, em dois pontos distintos da trajetória, as orientações dos versores das coordenadas polares.

e ) O planeta agora é uma esfera de raio R com densidade que varia radialmente de r = 0 a r = R de acordo com

ρ r = 4 M 3 R 2   R - r 2 ,   t a l   q u e   ∫ 0 R ρ r d r = M .

Ou seja, é mais denso em seu centro do que em sua superfície. O projétil agora encontra-se em repouso na superfície do planeta. Partindo da equação da energia total do projétil obtenha a velocidade mínima, em termos de R , para que o projétil escape para bem longe do planeta (velocidade de escape).

Resolução
28.

Um ginasta executa um salto mortal. Para isso, enquanto está no ar, dobra o corpo. Podemos dizer que durante sua subida no salto, após perder o contato com o solo, seu momento de inércia em relação ao eixo passando pelo seu centro de massa (perpendicular ao plano do desenho), seu momento angular em relação ao seu centro de massa e sua energia mecânica total, respectivamente,

a) Diminui, se mantém, se mantém.

b) Diminui, se mantém,aumenta.

c) Diminui, diminui, diminui.

d) Aumenta, aumenta, aumenta.

e) Aumenta, diminui, se mantém.

Resolução
29.

Uma pá da hélice de um helicóptero pode ser considerada como sendo uma barra uniforme e longa. Se cada uma das três pás do rotor de um helicóptero possui 3,0   m de comprimento e 160   k g de massa, determine:

(a) O momento de inércia de cada uma das três pás do rotor com relação ao eixo de rotação, e o momento de inércia do conjunto.

(b) O módulo, direção e sentido do torque (constante) que o motor deve exercer sobre o rotor para levá-lo (do repouso) a uma velocidade angular de 5,0 rotações por segundo em 8,0 segundos (deixe claro sua escolha de sistema de coordenadas).

(c) A energia cinética e o momento angular (módulo, direção e sentido) do conjunto em t = 8   s .

Dado: Para uma barra, o momento de inércia com relação ao eixo (perpendicular a barra) que passa pelo centro de massa vale I c m = 1 12 M L 2 .

Resolução
30.

A figura a seguir mostra um dispositivo utilizado para puxar uma esfera oca de raio R = 0,25   m e massa M = 6,0   k g rolando sem deslizar ao longo de um plano com inclinação θ = 30 ° em relação à horizontal. A esfera é puxada da base do plano inclinado a partir do repouso por uma roldana (disco sólido) de raio r   =   0,1   m e massa m   =   4   k g pela aplicação de uma força F → constante na direção tangente à posição de uma manivela (comprimento l   =   r e massa desprezível) fixada em um eixo que passa no centro de massa da roldana, conforme mostra a vista frontal do dispositivo. Adote g   =   10 m / s 2 , despreze os efeitos de atrito no eixo da roldana e considere o fio ideal.

A força F → é tal que suspende a esfera oca ao longo da rampa com uma aceleração de centro

de massa constante a c m   =   2,5 m / s 2 .

( a ) Determine a energia cinética da esfera oca dois segundos após o início do movimento.

( b ) Determine o vetor momento angular final da esfera oca, em relação ao seu centro de massa, dois segundos após o início do movimento.

( c ) Faça o diagrama do corpo livre para a esfera oca e para a roldana e escreva as equações que regem os movimentos destes corpos.

( d ) Obtenha o módulo da força F → aplicada à manivela.

Resolução
31.

Um mastro de uma bandeira pode ser modelado por um ahaste homogênea de massa M   e comprimento l   que tem presa em sua extremidade uma esfera sólida homogênea de massa m e raio R . O mastro está preso em sua outra extremidade a uma parede no ponto P, fazendo um ângulo θ com a horizontal, como ilustra a figura. Utilize g para a aceleração da gravidade.

a ) Calcule o momento de inércia rotacional do mastro em torno a um eixo perpendicular ao plano do papel (eixo z ) que passe pelo ponto P .

b ) Calcule o vetor torque que a força da gravidade faz no mastro em relação ao ponto P.

c ) Suponha que, devido a algum defeito na fixação da esfera, a mesma se solte da extremidade e caia verticalmente. Calcule o momento angular da esfera em relação aoponto P após ela ter caído durante um intervalo de tempo t .

Resolução
32.

Uma partícula de massa 2,0   k g se move no plano X Y com velocidade de módulo 3,0   m / s ao longo da direção dada pelo vetor r → = i → + j → . Calcule o momento angular da partícula em relação à origem do sistema de coordenadas em k g m 2 / s . Assinale a resposta correta.

(a)   6,0   - k →

(b) 6,0   k →

(c) 4,2   k →

(d) 4,2   - k →

(e) 0

Resolução
33.