Lista de Exercícios Resolvidos de Momento Angular

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A Fig. 11-46 mostra o torque τ que age sobre um disco inicialmente estacionário que pode girar em torno do seu centro como um carrossel em função do tempo. Qual é o momento angular do disco em relação ao eixo de rotação nos intantes (a) t = 7,0   s e (b) t = 20   s ?

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O momento angular de um volante com um momento de inércia de 0,140   k g   .   m 2 em relação ao eixo central diminui de 3,00 para 0,800   k g   .   m 2 / s em 1,50   s . (a) Qual é o módulo do torque médio em relação ao eixo central que age sobre o volante durante esse período? (b) Supondo que uma aceleração angular constante, de que ângulo o volante gira? (c) Qual é o trabalho realizado sobre o volante? (d) Qual é a potência média do volante?

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Três partículas de massas iguais a m movem-se na ausência de forças externas com velocidades v → 1 = - v î ,   v → 2 = - v î e v → 3 = - v î + v j ^ . Num dado instante elas ocupam as posições indicadas na figura abaixo. O vetor momento angular total L → O deste sistema de partículas em relação a origem O do eixo de coordenadas da figura é

(a) 0 →

(b) - 2 a v m k ^

(c) a v m k ^

(d) - a v m k ^

(e) - 3 a v m k ^

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Considere uma partícula de massa m presa ao teto em um suporte fixo por meio de um fio ideal de comprimento d , formando um pêndulo. A partícula é solta a partir do repouso, com o fio esticado, a uma distância d / 2 do teto; g é o módulo da aceleração local da gravidade. Qual é o módulo do momento angular da partícula com relação ao ponto de sustentação do fio quando ela passa pelo ponto mais baixo da trajetória?

  1. L = m d 2 g d
  2. L = m d g d
  3. L = 0
  4. L = m d g d / 2
  5. L = m d 2 g d / 3

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A figura mostra a trajetória reta de uma partícula de massa m no plano x y com velocidade constante v → . É INCORRETO afirmar sobre o movimento que:

(a) o momento angular em relação a qualquer ponto do plano é constante.

(b) o momento angular em relação à origem é nulo.

(c) o momento angular em relação ao ponto de interseção da trajetória com o eixo y é nulo.

(d) o torque total sobre a partícula é nulo.

(e) a força resultante sobre a partícula é nula.

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No instante da Fig. 11-41, duas partículas se movem em um plano x y . A partícula P 1 possui uma massa de 6,5   k g e uma velocidade v 1 = 2,2   m / s e está a uma distância d 1 = 1,5   m do ponto O . A partícula P 2 possui uma massa de 3,1   k g e uma velocidade v 2 = 3,6   m / s e está a uma distância d 2 = 2,8   m do ponto O . Quais são (a) o módulo e (b) a orientação do momento angular resultante das duas partículas em relação ao ponto O ?

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Um avião de 1200   k g está voando em uma linha reta a 80   m / s , 1,3   k m acima do solo. Qual é o módulo do momento angular do avião em relação a um ponto no solo verticalmente abaixo do local onde ele se encontra?

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Um haltere é formado por duas partículas de massa m , ligadas por uma barra rígida de massa desprezível e comprimento 2 a , e gira com velocidade angular ω 1 em torno de um eixo fixo perpendicular a barra e passando pelo seu ponto médio. Um segundo haltere é formado por duas partículas de massa m / 2 , ligadas por uma barra rígida de massa desprezível e comprimento 4 a , e gira com velocidade angular ω 2 em torno de um eixo fixo perpendicular a barra e passando pelo seu ponto médio. Considerando que os halteres têm o mesmo momento angular, podemos afirmar que:

  1. ω 2 = ω 1
  2. ω 2 = 2 ω 1
  3. ω 2 = ω 1 / 2
  4. ω 2 = 2 ω 1
  5. ω 2 = ω 1 / 2

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Dois alteres 1 e 2 mostrados na figura giram em torno de seus respectivos centros de massa em torno de um eixo fixo e perpendicular ao seu comprimento. O haltere 1 gira com velocidade angular constante ω e o haltere 2 com velocidade angular constante ω / 2 . No haltere 1 as massas de suas extremidades são iguais a m e no haltere 2 2 m . Os módulos de seus momentos angulares L 1 e L 2 em relação aos respectivos centros de massa e as suas energias cinéticas K 1 e K 2 cinéticas são relacionados respectivamente como

  1. L 1 = L 2 e K 1 > K 2
  2. L 1 = L 2 e K 1 = K 2
  3. L 1 = L 2 e K 1 < K 2
  4. L 1 < L 2 e K 1 < K 2
  5. L 1 > L 2 e K 1 > K 2

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Uma partícula move-se com velocidade constante v → ao longo de uma reta paralela ao eixo O X que corta o O Y em y = d   d > 0 . Sejam L → 1 , L → 2 e L → 3 os momentos angulares da partícula, relativos à origem O , nos pontos 1 , 2 e 3 , como indicados na figura. Os módulos dos momentos angulares são tais que

  1. L → 1 < L → 2 < L → 3 ;
  2. L → 1 > L → 2 > L → 3 ;
  3. L → 1 = L → 2 = L → 3 ;
  4. L → 1 < L → 2 = L → 3 ;
  5. L → 1 = 0 e L → 2 < L → 3 ;

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Uma esfera de massa M , raio R e momento de inércia I = 2 / 5 M R 2 , em relação ao eixo que passa pelo seu centro de massa, desce um plano inclinado A - B (ver figura), rolando sem deslizar. A esfera parte do repouso e desce até o final do plano inclinado (ponto B ), situado a uma altura h em relação ao solo. Neste instante, ela tem velocidade angular ω 0 , e entra em queda livre. Afirma-se que: I ) Imediatamente antes de tocar o solo, a velocidade angular da esfera é ω = ω 0 2 + 10 g h / 7 R 2 . I I ) Imediatamente antes de tocar o solo, a velocidade angular da esfera continua com valor ω 0 . I I I ) O momento angular da esfera mantém-se perpendicular ao plano do movimento. I V ) Ao longo da queda livre, a energia cinética de rotação da esfera permanece constante. Qual(ais) da(s) afirmação(ões) acima está(ão) incorreta(s)?

  1. Somente a I .
  2. Somente a I I .
  3. I e I V .
  4. I I e I I I .
  5. I e I I I .

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Considere uma partícula de massa m presa ao teto em um suporte fixo por meio de um fio ideal de comprimento d , formando um pêndulo. A partícula é solta a partir do repouso, com o fio esticado, a uma distância d / 2 do teto; g é o módulo da aceleração local da gravidade. Qual é o módulo do momento angular da partícula com relação ao ponto de sustentação do fio quando ela passa pelo ponto mais baixo da trajetória?

  1. L = m d 2 g d
  2. L = m d g d
  3. L = 0
  4. L = m d g d / 2
  5. L = m d 2 g d / 3

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Uma chapa retangular é colocada para girar com velocidade angular constante ω de duas maneiras diferentes, 1 e 2, como indicado na figura. Nos dois casos os eixos de rotação passam pelos seus centros de massa. As relações entre os módulos dos momentos angulares L 1 e L 2 , e entre as energias cinéticas de rotação K 1 e K 2 nas duas situações são

(a) L 1 < L 2 e K 1 > K 2

(b) L 1 < L 2 e K 1 < K 2

(c) L 1 = L 2 e K 1 > K 2

(d) L 1 = L 2 e K 1 < K 2

(e) L 1 > L 2 e K 1 = K 2

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Uma barra delgada homogênea e uniforme, de massa M e comprimento l , é articulada num pino O , que passa por uma de suas extremidades, e pode girar sem atrito num plano vertical. Liberada a partir do repouso na posição horizontal, a barra sofre uma colisão elástica com um pêndulo ao passar pela posição vertical, como representa a massa m de dimensões desprezíveis presa à extremidade da haste. O pêndulo também pode oscilar em torno do pino, sem atrito, no mesmo plano vertical que a barra. Sabe-se que o pêndulo encontrava-se em repouso antes da colisão com a barra, e que o momento de inércia da barra em relação ao eixo perpenducular ao plano vertical e que passa pelo pino é I = 1 / 3 M l 2

  1. Determine a velocidade angular da barra, ω 0 , imediatamente antes da colisão com o pêndulo.
  2. Quais das seguintes grandezas: o momento linear e o momento angular em relação a O são conservadas na colisão? Justifique a sua resposta.
  3. Determine a velocidade angular da barra, ω ' , imediatamente após a colisão.
  4. Determine o valor da razão m / M para que a barra permaneça em repouso depois da colisão.

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Considere as afirmativas abaixo:

(I) Em uma colisão inelástica, o momento linear do sistema nunca é conservado.

(II) A velocidade do centro de massa de um sistema de partículas é sempre constante.

(III) Forças internas nunca alteram o momento linear total de um sistema de partículas.

(IV) O momento linear e o momento angular de um sistema de partículas sempre se conservam sob a ação de um par de forças externas de mesmo módulo, direção e sentidos opostos.

São verdadeiras apenas as afirmativas:

(a) I

(b) III

(c) II e IV

(d) II e III

(e) III e IV

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Três partículas de massas iguais a m movem-se na ausência de forças externas com velocidades v → 1 = - v î ,   v → 2 = - v î e v → 3 = - v î + v j ^ . Num dado instante elas ocupam as posições indicadas na figura abaixo. O vetor momento angular total L → O deste sistema de partículas em relação a origem O do eixo de coordenadas da figura é

(a) 0 →

(b) - 2 a v m k ^

(c) a v m k ^

(d) - a v m k ^

(e) - 3 a v m k ^

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i Qual é o ângulo θ entre o vetor momento linear p → de uma partícula e o seu vetor momento angular L → ? Justifique

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Duas partículas de mesma massa se movem sobre uma reta com velocidades constantes, de mesmo módulo e sentidos contrários. Sobre esse sistema são feitas as seguintes afirmações:

I. O momento angular de ambas as partículas com relação ao ponto O é nulo

II. O momento angular de ambas as partículas com relação ao ponto O 0 é nulo

III. O momento angular total do sistema com relação aos pontos O e O 0 é nulo

As afirmativas corretas são:

a) Todas as afirmativas.

b) Apenas I

c) Apenas II

d) Apenas III

e) Apenas I e II

f) Apenas I e III

g) Apenas II e III

h) Nenhuma das afirmativas.

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Imagine que um objeto de perfil circular (com raio r , massa m e momento de inércia I ) seja colocado no ponto A da canaleta ilustrada abaixo com velocidade inicial nula. O atrito entre esse objeto e a canaleta é suficiente para que ele role sem deslizar e a resistência do ar é desprezível.

a ) Esboce o diagrama das forças que agem sobre o objeto quando ele está no ponto A da trajetória e escreva as equações do movimento, de translação e de rotação (não é necessário resolvê-las).

b ) O ponto D da trajetória indica o ponto mais alto que o objeto atinge após ser atirado verticalmente para cima, em C . Explique em até duas linhas legíveis porque a velocidade angular do objeto, em torno do seu centro de massa, em C e em D são iguais.

c ) Considere os seguintes perfis de densidade para o objeto (quanto mais escuro, mais denso), todos com a mesma massa. Liste-os, em ordem crescente de momento de inércia.

d ) Para qual dos perfis acima o corpo sobe mais (ou seja, a distância h é menor)?

e ) Calcule a altura h em função dos parâmetros r , m , I , H e R .

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Um cilindro oco (raio r = 0.5   m , M = 15   k g ) rola para baixo em um plano inclinado (ângulo α = π 6 ) sem deslizar. Sobre a superfície do cilindro corre um menino (massa m = 30   k g , que pode ser considerada como puntiforme), e ele consegue ficar sempre no ponto mais alto do cilindro. Considere g = 10 m / s 2 .

a ) Calcule o momento de inércia do cilindro em relação ao eixo instantâneo O .

b ) Ache a expressão para momento angular do sistema em torno do ponto O em termos das massas, ângulo, raio e velocidade do centro de massa.

c ) Qual é o torque total de forcas externas sobre o sistema em relação do ponto O ?

d ) Calcule o módulo da aceleração do cento de massa do cilindro.

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Considere um sistema de cinco objetos puntiformes dispostos em um plano de acordo com a figura a seguir. Cada um dos quatro objetos periféricos possui massa igual a m , enquanto que o quinto, localizado na origem do sistema de coordenadas indicado na figura, tem massa 2 m . Eles são unidos por hastes rígidas e de massas desprezíveis.

a ) Calcule o momento de inércia do sistema em relação ao eixo passando pelos objetos 2 e 3 .

b ) Calcule o momento de inércia do sistema em relação ao eixo perpendicular ao plano da figura e passando pela origem.

c ) Calcule o momento de inércia do sistema em relação ao eixo perpendicular ao plano da figura e passando pelo ponto M indicado na figura.

d ) O sistema, inicialmente em repouso, recebe um impulso p → conforme ilustra a figura. Qual é a velocidade subsequente do centro de massa? Escreva sua resposta em função de m , d e p = | p → | .

e ) Ainda considerando a situação descrita no item anterior, qual é a velocidade angular do sistema, em torno de seu centro de massa, imediatamente após o impulso? Escreva sua resposta em função de m , d e p = | p → | .

f ) Após o impulso o sistema passa a rodar no sentido anti-horário do plano. Seja m = 0,1   k g e d = 0,2   m . Obtenha o módulo e o sentido do torque aplicado no sistema por uma força resistiva, sabendo que a velocidade angular decresce linearmente de ω i = 2   r a d / s até ω f = 0   r a d / s em 4 segundos.

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A figura mostra a trajetória reta de uma partícula de massa m no plano x y com velocidade constante v → . É INCORRETO afirmar sobre o movimento que:

(a) o momento angular em relação a qualquer ponto do plano é constante.

(b) o momento angular em relação à origem é nulo.

(c) o momento angular em relação ao ponto de interseção da trajetória com o eixo y é nulo.

(d) o torque total sobre a partícula é nulo.

(e) a força resultante sobre a partícula é nula.

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Considere um projétil de massa m movimentando-se no plano x y de um sistema de coordenadas nas situações descritas pelos itens abaixo. Adotamos nesta questão um sistema de unidades arbitrário, onde a constante gravitacional de Newton G é igual a 1 . Expresse seus resultados em função de m onde for necessário.

a ) O projétil desloca-se isoladamente em movimento retilíneo uniforme. Sua posição em função do tempo é dada por r → ( t ) = 10 - 4 t i → + 2 j → onde i →   e j → são os versores dos eixos x e y , respectivamente. Qual é o módulo e o sentido do vetor momento angular do projétil com relação à origem desse sistema de coordenadas? Justifique.

Nos itens subsequentes, considere um planeta de massa M = 20 , com M ≫ m , fixo na origem do sistema de coordenadas. Para os itens b , c e d , o planeta é puntiforme e a condição inicial do projétil é r → ( 0 ) = 2 j → e v → ( 0 ) = - 4 i → .

b ) Determine o vetor momento angular e a energia total do projétil.

c ) Qual é a forma geométrica que descreve a trajetória? Justifique. Dica: ache o raio de equilíbrio minimizando o potencial efetivo e tire suas conclusões.

d ) Faça um esboço bem qualitativo da trajetória do projétil com relação à posição do planeta indicando, em dois pontos distintos da trajetória, as orientações dos versores das coordenadas polares.

e ) O planeta agora é uma esfera de raio R com densidade que varia radialmente de r = 0 a r = R de acordo com

ρ r = 4 M 3 R 2   R - r 2 ,   t a l   q u e   ∫ 0 R ρ r d r = M .

Ou seja, é mais denso em seu centro do que em sua superfície. O projétil agora encontra-se em repouso na superfície do planeta. Partindo da equação da energia total do projétil obtenha a velocidade mínima, em termos de R , para que o projétil escape para bem longe do planeta (velocidade de escape).

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Uma bola 1 de raio desprezível e massa m 1 = 0,3   k g encontra-se suspensa na extremidade de um fio inextensível, de massa desprezível e comprimento l = 0,1   m . Ela é atingida por uma bola 2,também de raio desprezível, de massa m 2 = 0,1   k g que desloca-se com velocidade v = 10   m / s , sobre uma canaleta horizontal, cuja extremidade encontra-se na posição da bola 1, como ilustrado na figura. A colisão é elástica.

(a) Determine os vetores velocidade das bolas imediatamente após a colisão.

(b) Determine o vetor velocidade da bola 1 no topo da trajetória.

(c) Calcule a tensão no fio quando a bola 1 está no topo da trajetória.

(d) Calcule o vetor momento angular do sistema em relação ao ponto de suspensão da bola 1 antes e imediatamente após a colisão.

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Uma pá da hélice de um helicóptero pode ser considerada como sendo uma barra uniforme e longa. Se cada uma das três pás do rotor de um helicóptero possui 3,0   m de comprimento e 160   k g de massa, determine:

(a) O momento de inércia de cada uma das três pás do rotor com relação ao eixo de rotação, e o momento de inércia do conjunto.

(b) O módulo, direção e sentido do torque (constante) que o motor deve exercer sobre o rotor para levá-lo (do repouso) a uma velocidade angular de 5,0 rotações por segundo em 8,0 segundos (deixe claro sua escolha de sistema de coordenadas).

(c) A energia cinética e o momento angular (módulo, direção e sentido) do conjunto em t = 8   s .

Dado: Para uma barra, o momento de inércia com relação ao eixo (perpendicular a barra) que passa pelo centro de massa vale I c m = 1 12 M L 2 .

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Um mastro de uma bandeira pode ser modelado por um ahaste homogênea de massa M   e comprimento l   que tem presa em sua extremidade uma esfera sólida homogênea de massa m e raio R . O mastro está preso em sua outra extremidade a uma parede no ponto P, fazendo um ângulo θ com a horizontal, como ilustra a figura. Utilize g para a aceleração da gravidade.

a ) Calcule o momento de inércia rotacional do mastro em torno a um eixo perpendicular ao plano do papel (eixo z ) que passe pelo ponto P .

b ) Calcule o vetor torque que a força da gravidade faz no mastro em relação ao ponto P.

c ) Suponha que, devido a algum defeito na fixação da esfera, a mesma se solte da extremidade e caia verticalmente. Calcule o momento angular da esfera em relação aoponto P após ela ter caído durante um intervalo de tempo t .

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Um disco de raio r = 5,0   c m e massa m = 1,0   k g e um cubo de lado a = 10   c m e mesma massa, estão no topo de um plano com comprimento d = 2,0   m inclinado de θ = 60 ° com a horizontal. Existe atrito entre o plano inclinado e os dois objetos, os coeficientes de atrito cinético e atrito estático são respectivamente μ C = 0,3 e μ E = 0,5 . Na base do plano existe um trilho na vertical com o formato de um anel de raio R = 35   c m como ilustra o desenho. A base do plano e o trilho têm superfícies com atrito desprezível. Na saída do trilho, está em repouso um segundo cubo idêntico ao primeiro com seu centro de massa na posição R - a 2 ,   - R + a 2 . Logo após o segundo cubo, a superfície horizontal apresenta um coeficiente de atrito cinético variável e no final desta superfície está uma mola com constante elástica k = 100   N / m . A superfície embaixo da mola tem atrito desprezível. A origem do sistema de coordenadas coincide com o centro do anel. A aceleração da gravidade é g = 10   m / s 2 . Desenvolva as equações na forma literal para somente no final substituir as variáveis pelos valores fornecidos.

e) Imediatamente antes da colisão, calcule o momento angular L 0 → , em relação à origem do sistema de coordenadas, do cubo que está em movimento. Suponha a velocidade do cubo imediatamente antes da colisão é de 5,35   m / s   ( i ^ )

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Uma partícula de massa 2,0   k g se move no plano X Y com velocidade de módulo 3,0   m / s ao longo da direção dada pelo vetor r → = i → + j → . Calcule o momento angular da partícula em relação à origem do sistema de coordenadas em k g m 2 / s . Assinale a resposta correta.

(a)   6,0   - k →

(b) 6,0   k →

(c) 4,2   k →

(d) 4,2   - k →

(e) 0

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A figura a seguir mostra um dispositivo utilizado para puxar uma esfera oca de raio R = 0,25   m e massa M = 6,0   k g rolando sem deslizar ao longo de um plano com inclinação θ = 30 ° em relação à horizontal. A esfera é puxada da base do plano inclinado a partir do repouso por uma roldana (disco sólido) de raio r   =   0,1   m e massa m   =   4   k g pela aplicação de uma força F → constante na direção tangente à posição de uma manivela (comprimento l   =   r e massa desprezível) fixada em um eixo que passa no centro de massa da roldana, conforme mostra a vista frontal do dispositivo. Adote g   =   10 m / s 2 , despreze os efeitos de atrito no eixo da roldana e considere o fio ideal.

A força F → é tal que suspende a esfera oca ao longo da rampa com uma aceleração de centro

de massa constante a c m   =   2,5 m / s 2 .

( a ) Determine a energia cinética da esfera oca dois segundos após o início do movimento.

( b ) Determine o vetor momento angular final da esfera oca, em relação ao seu centro de massa, dois segundos após o início do movimento.

( c ) Faça o diagrama do corpo livre para a esfera oca e para a roldana e escreva as equações que regem os movimentos destes corpos.

( d ) Obtenha o módulo da força F → aplicada à manivela.

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Uma esfera de massa 4,0 𝑘𝑔 e um cubo de massa 2,0 𝑘𝑔 estão conectados por uma corda inextensível e de massa de desprezível. A corda passa por uma roldana de raio 1,0 𝑚 e massa 2,0 𝑘𝑔 que tem a forma de um disco como ilustrado esquematicamente na figura ao lado. Ambos os corpos estão com velocidade de módulo igual a 𝑣 (𝑚/𝑠). Calcule em k g m 2 / s o módulo do momento angular do sistema em relação ao centro da roldana.

(a) 2 v

(b) 6 v

(c) 7 v

(d) 3 v

(e) 9 v

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Um carrossel de raio 5,0   m com momento de inércia 2000   kg⋅ m 2 gira com velocidade angular 1,0   rad/s . Uma pessoa de massa 50   kg está parada próximo à borda do carrossel. A pessoa sobre no carrossel; sua velocidade antes de pisar no carrossel era desprezível. Responda justificando:

Qual será a velocidade angular do carrossel logo depois que a pessoa sobre?

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Um carrossel tem raio de 4,0 m e momento de inércia em relação ao seu eixo de 200 k g m 3 . O carrossel está inicialmente em repouso quando uma menina de 25 k g começa a caminhar sobre o carrossel com velocidade de 1,8 m / s   em relação ao solo, tangente ao círculo de raio 2,0 m e concêntrico com o carrossel. Considere a menina como uma partícula e despreze o atrito no eixo do carrossel.

  1. A partir do instante em que a meina inicia a caminhada, qual o torque resultante externo, sobre o sistema {carrossel + menina}, em relação ao eixo do carrossel?
  2. Calcule a velocidade angular do carrossel.
  3. O que acontecerá com o carrossel se inicialmente, ao invés de caminhar na direção tangencial, a menina caminhasse em direção ao centro do carrossel (direção radial)?

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Qual é o módulo e a direção do momento angular de um disco homogêneo de massa 2,0 kg e diâmetro 4,0 cm girando com velocidade angular ω = 100 rad/s em torno de um eixo perpendicular ao seu plano e que passa pelo seu centro?

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Um corpo de massa m desliza sobre uma superfície horizontal, preso a um fio que passa por um furo. A extremidade do fio está presa a uma massa M . O corpo de massa m gira sem atrito, fazendo uma trajetória raio r i , com velocidade angular suficiente para manter a massa M suspensa. Se a massa suspensa cair para a metade do seu valor inicial, qual a razão entre o raio final e o raio inicial ?

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Um pêndulo é constituído por uma partícula de massa m e um fio ideal de comprimento d preso ao teto em um ponto de fixação O. A partícula é solta a partir do repouso com o fio tensionado e fazendo um ângulo θ com a vertical (posição A). Quando o fio passa pela posição vertical a partícula tem uma velocidade de módulo v. Tomando todos os momentos angulares e torques relativos ao ponto de fixação O, denotando por l → A e l → B os momentos angulares da partícula nas posições A e B, e por τ → A e τ → B os torques sobre a partícula nas posições A e B, respectivamente, podemos afirmar que:

  1. l → A = 0 → e τ → A = d m g s e n θ
  2. l → A = 0 → e τ → A = 0 →
  3. | l → B | = m d v e τ → A = 0
  4. l → B = 0 e τ → A = d m g s e n θ
  5. τ → A = 0 e τ → B = 0

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Uma partícula de massa m é lançada obliquamente de forma que sua velocidade inicial tem módulo v 0 e forma um ângulo θ com a horizontal. O momento angular da partícula no ponto mais alto de sua trajetória, calculado com relação ao ponto de lançamento tem módulo igual a:

(a) m v 0 3 s e n 2 θ c o s θ / ( 2 g )

(b) m v 0 3 s e n θ cos 2 ⁡ θ / ( 2 g )

(c) m v 0 3 c o s θ / ( 2 g )

(d) m v 0 3 s e n θ / ( 2 g )

(e) m v 0 3 / ( 2 g )