Lista de Exercícios Resolvidos de Momento Angular
A Fig. 11-46 mostra o torque que age sobre um disco inicialmente estacionário que pode girar em torno do seu centro como um carrossel em função do tempo. Qual é o momento angular do disco em relação ao eixo de rotação nos intantes (a) e (b) ?
O momento angular de um volante com um momento de inércia de em relação ao eixo central diminui de para em . (a) Qual é o módulo do torque médio em relação ao eixo central que age sobre o volante durante esse período? (b) Supondo que uma aceleração angular constante, de que ângulo o volante gira? (c) Qual é o trabalho realizado sobre o volante? (d) Qual é a potência média do volante?
Ver solução completaTrês partículas de massas iguais a movem-se na ausência de forças externas com velocidades e . Num dado instante elas ocupam as posições indicadas na figura abaixo. O vetor momento angular total deste sistema de partículas em relação a origem do eixo de coordenadas da figura é
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Ver solução completaConsidere uma partícula de massa presa ao teto em um suporte fixo por meio de um fio ideal de comprimento , formando um pêndulo. A partícula é solta a partir do repouso, com o fio esticado, a uma distância do teto; é o módulo da aceleração local da gravidade. Qual é o módulo do momento angular da partícula com relação ao ponto de sustentação do fio quando ela passa pelo ponto mais baixo da trajetória?
A figura mostra a trajetória reta de uma partícula de massa no plano com velocidade constante . É INCORRETO afirmar sobre o movimento que:
(a) o momento angular em relação a qualquer ponto do plano é constante.
(b) o momento angular em relação à origem é nulo.
(c) o momento angular em relação ao ponto de interseção da trajetória com o eixo é nulo.
(d) o torque total sobre a partícula é nulo.
(e) a força resultante sobre a partícula é nula.
Ver solução completaNo instante da Fig. 11-41, duas partículas se movem em um plano . A partícula possui uma massa de e uma velocidade e está a uma distância do ponto . A partícula possui uma massa de e uma velocidade e está a uma distância do ponto . Quais são (a) o módulo e (b) a orientação do momento angular resultante das duas partículas em relação ao ponto ?
Um avião de está voando em uma linha reta a , acima do solo. Qual é o módulo do momento angular do avião em relação a um ponto no solo verticalmente abaixo do local onde ele se encontra?
Ver solução completaUm haltere é formado por duas partículas de massa , ligadas por uma barra rígida de massa desprezível e comprimento , e gira com velocidade angular em torno de um eixo fixo perpendicular a barra e passando pelo seu ponto médio. Um segundo haltere é formado por duas partículas de massa , ligadas por uma barra rígida de massa desprezível e comprimento , e gira com velocidade angular em torno de um eixo fixo perpendicular a barra e passando pelo seu ponto médio. Considerando que os halteres têm o mesmo momento angular, podemos afirmar que:
Dois alteres e mostrados na figura giram em torno de seus respectivos centros de massa em torno de um eixo fixo e perpendicular ao seu comprimento. O haltere gira com velocidade angular constante e o haltere com velocidade angular constante . No haltere as massas de suas extremidades são iguais a e no haltere . Os módulos de seus momentos angulares e em relação aos respectivos centros de massa e as suas energias cinéticas e cinéticas são relacionados respectivamente como
- e
- e
- e
- e
- e
Uma partícula move-se com velocidade constante ao longo de uma reta paralela ao eixo que corta o em . Sejam , e os momentos angulares da partícula, relativos à origem , nos pontos , e , como indicados na figura. Os módulos dos momentos angulares são tais que
- ;
- ;
- ;
- ;
- e ;
Uma esfera de massa , raio e momento de inércia , em relação ao eixo que passa pelo seu centro de massa, desce um plano inclinado (ver figura), rolando sem deslizar. A esfera parte do repouso e desce até o final do plano inclinado (ponto ), situado a uma altura em relação ao solo. Neste instante, ela tem velocidade angular , e entra em queda livre. Afirma-se que: Imediatamente antes de tocar o solo, a velocidade angular da esfera é . Imediatamente antes de tocar o solo, a velocidade angular da esfera continua com valor . O momento angular da esfera mantém-se perpendicular ao plano do movimento. Ao longo da queda livre, a energia cinética de rotação da esfera permanece constante. Qual(ais) da(s) afirmação(ões) acima está(ão) incorreta(s)?
- Somente a .
- Somente a .
- e .
- e .
- e .
Considere uma partícula de massa presa ao teto em um suporte fixo por meio de um fio ideal de comprimento , formando um pêndulo. A partícula é solta a partir do repouso, com o fio esticado, a uma distância do teto; é o módulo da aceleração local da gravidade. Qual é o módulo do momento angular da partícula com relação ao ponto de sustentação do fio quando ela passa pelo ponto mais baixo da trajetória?
Uma chapa retangular é colocada para girar com velocidade angular constante de duas maneiras diferentes, 1 e 2, como indicado na figura. Nos dois casos os eixos de rotação passam pelos seus centros de massa. As relações entre os módulos dos momentos angulares e , e entre as energias cinéticas de rotação e nas duas situações são
(a) e
(b) e
(c) e
(d) e
(e) e
Ver solução completaUma barra delgada homogênea e uniforme, de massa e comprimento , é articulada num pino , que passa por uma de suas extremidades, e pode girar sem atrito num plano vertical. Liberada a partir do repouso na posição horizontal, a barra sofre uma colisão elástica com um pêndulo ao passar pela posição vertical, como representa a massa de dimensões desprezíveis presa à extremidade da haste. O pêndulo também pode oscilar em torno do pino, sem atrito, no mesmo plano vertical que a barra. Sabe-se que o pêndulo encontrava-se em repouso antes da colisão com a barra, e que o momento de inércia da barra em relação ao eixo perpenducular ao plano vertical e que passa pelo pino é
- Determine a velocidade angular da barra, , imediatamente antes da colisão com o pêndulo.
- Quais das seguintes grandezas: o momento linear e o momento angular em relação a são conservadas na colisão? Justifique a sua resposta.
- Determine a velocidade angular da barra, , imediatamente após a colisão.
- Determine o valor da razão para que a barra permaneça em repouso depois da colisão.
Considere as afirmativas abaixo:
(I) Em uma colisão inelástica, o momento linear do sistema nunca é conservado.
(II) A velocidade do centro de massa de um sistema de partículas é sempre constante.
(III) Forças internas nunca alteram o momento linear total de um sistema de partículas.
(IV) O momento linear e o momento angular de um sistema de partículas sempre se conservam sob a ação de um par de forças externas de mesmo módulo, direção e sentidos opostos.
São verdadeiras apenas as afirmativas:
(a) I
(b) III
(c) II e IV
(d) II e III
(e) III e IV
Ver solução completaTrês partículas de massas iguais a movem-se na ausência de forças externas com velocidades e . Num dado instante elas ocupam as posições indicadas na figura abaixo. O vetor momento angular total deste sistema de partículas em relação a origem do eixo de coordenadas da figura é
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Ver solução completaQual é o ângulo entre o vetor momento linear de uma partícula e o seu vetor momento angular ? Justifique
Ver solução completaDuas partículas de mesma massa se movem sobre uma reta com velocidades constantes, de mesmo módulo e sentidos contrários. Sobre esse sistema são feitas as seguintes afirmações:
I. O momento angular de ambas as partículas com relação ao ponto é nulo
II. O momento angular de ambas as partículas com relação ao ponto é nulo
III. O momento angular total do sistema com relação aos pontos e é nulo
As afirmativas corretas são:
a) Todas as afirmativas.
b) Apenas I
c) Apenas II
d) Apenas III
e) Apenas I e II
f) Apenas I e III
g) Apenas II e III
h) Nenhuma das afirmativas.
Ver solução completaImagine que um objeto de perfil circular (com raio , massa e momento de inércia ) seja colocado no ponto da canaleta ilustrada abaixo com velocidade inicial nula. O atrito entre esse objeto e a canaleta é suficiente para que ele role sem deslizar e a resistência do ar é desprezível.
Esboce o diagrama das forças que agem sobre o objeto quando ele está no ponto da trajetória e escreva as equações do movimento, de translação e de rotação (não é necessário resolvê-las).
O ponto da trajetória indica o ponto mais alto que o objeto atinge após ser atirado verticalmente para cima, em . Explique em até duas linhas legíveis porque a velocidade angular do objeto, em torno do seu centro de massa, em e em são iguais.
Considere os seguintes perfis de densidade para o objeto (quanto mais escuro, mais denso), todos com a mesma massa. Liste-os, em ordem crescente de momento de inércia.
Para qual dos perfis acima o corpo sobe mais (ou seja, a distância é menor)?
Calcule a altura em função dos parâmetros , , , e .
Ver solução completaUm cilindro oco (raio , ) rola para baixo em um plano inclinado (ângulo ) sem deslizar. Sobre a superfície do cilindro corre um menino (massa , que pode ser considerada como puntiforme), e ele consegue ficar sempre no ponto mais alto do cilindro. Considere .
Calcule o momento de inércia do cilindro em relação ao eixo instantâneo .
Ache a expressão para momento angular do sistema em torno do ponto em termos das massas, ângulo, raio e velocidade do centro de massa.
Qual é o torque total de forcas externas sobre o sistema em relação do ponto ?
Calcule o módulo da aceleração do cento de massa do cilindro.
Ver solução completaConsidere um sistema de cinco objetos puntiformes dispostos em um plano de acordo com a figura a seguir. Cada um dos quatro objetos periféricos possui massa igual a , enquanto que o quinto, localizado na origem do sistema de coordenadas indicado na figura, tem massa . Eles são unidos por hastes rígidas e de massas desprezíveis.
Calcule o momento de inércia do sistema em relação ao eixo passando pelos objetos e .
Calcule o momento de inércia do sistema em relação ao eixo perpendicular ao plano da figura e passando pela origem.
Calcule o momento de inércia do sistema em relação ao eixo perpendicular ao plano da figura e passando pelo ponto indicado na figura.
O sistema, inicialmente em repouso, recebe um impulso conforme ilustra a figura. Qual é a velocidade subsequente do centro de massa? Escreva sua resposta em função de , e .
Ainda considerando a situação descrita no item anterior, qual é a velocidade angular do sistema, em torno de seu centro de massa, imediatamente após o impulso? Escreva sua resposta em função de , e .
Após o impulso o sistema passa a rodar no sentido anti-horário do plano. Seja e . Obtenha o módulo e o sentido do torque aplicado no sistema por uma força resistiva, sabendo que a velocidade angular decresce linearmente de até em segundos.
Ver solução completaA figura mostra a trajetória reta de uma partícula de massa no plano com velocidade constante . É INCORRETO afirmar sobre o movimento que:
(a) o momento angular em relação a qualquer ponto do plano é constante.
(b) o momento angular em relação à origem é nulo.
(c) o momento angular em relação ao ponto de interseção da trajetória com o eixo é nulo.
(d) o torque total sobre a partícula é nulo.
(e) a força resultante sobre a partícula é nula.
Ver solução completaConsidere um projétil de massa movimentando-se no plano de um sistema de coordenadas nas situações descritas pelos itens abaixo. Adotamos nesta questão um sistema de unidades arbitrário, onde a constante gravitacional de Newton é igual a . Expresse seus resultados em função de onde for necessário.
O projétil desloca-se isoladamente em movimento retilíneo uniforme. Sua posição em função do tempo é dada por onde e são os versores dos eixos e , respectivamente. Qual é o módulo e o sentido do vetor momento angular do projétil com relação à origem desse sistema de coordenadas? Justifique.
Nos itens subsequentes, considere um planeta de massa , com , fixo na origem do sistema de coordenadas. Para os itens , e , o planeta é puntiforme e a condição inicial do projétil é e .
Determine o vetor momento angular e a energia total do projétil.
Qual é a forma geométrica que descreve a trajetória? Justifique. Dica: ache o raio de equilíbrio minimizando o potencial efetivo e tire suas conclusões.
Faça um esboço bem qualitativo da trajetória do projétil com relação à posição do planeta indicando, em dois pontos distintos da trajetória, as orientações dos versores das coordenadas polares.
O planeta agora é uma esfera de raio com densidade que varia radialmente de a de acordo com
Ou seja, é mais denso em seu centro do que em sua superfície. O projétil agora encontra-se em repouso na superfície do planeta. Partindo da equação da energia total do projétil obtenha a velocidade mínima, em termos de , para que o projétil escape para bem longe do planeta (velocidade de escape).
Ver solução completaUma bola 1 de raio desprezível e massa encontra-se suspensa na extremidade de um fio inextensível, de massa desprezível e comprimento . Ela é atingida por uma bola 2,também de raio desprezível, de massa que desloca-se com velocidade , sobre uma canaleta horizontal, cuja extremidade encontra-se na posição da bola 1, como ilustrado na figura. A colisão é elástica.
(a) Determine os vetores velocidade das bolas imediatamente após a colisão.
(b) Determine o vetor velocidade da bola 1 no topo da trajetória.
(c) Calcule a tensão no fio quando a bola 1 está no topo da trajetória.
(d) Calcule o vetor momento angular do sistema em relação ao ponto de suspensão da bola 1 antes e imediatamente após a colisão.
Ver solução completaUma pá da hélice de um helicóptero pode ser considerada como sendo uma barra uniforme e longa. Se cada uma das três pás do rotor de um helicóptero possui de comprimento e de massa, determine:
(a) O momento de inércia de cada uma das três pás do rotor com relação ao eixo de rotação, e o momento de inércia do conjunto.
(b) O módulo, direção e sentido do torque (constante) que o motor deve exercer sobre o rotor para levá-lo (do repouso) a uma velocidade angular de rotações por segundo em segundos (deixe claro sua escolha de sistema de coordenadas).
(c) A energia cinética e o momento angular (módulo, direção e sentido) do conjunto em .
Dado: Para uma barra, o momento de inércia com relação ao eixo (perpendicular a barra) que passa pelo centro de massa vale .
Ver solução completaUm mastro de uma bandeira pode ser modelado por um ahaste homogênea de massa e comprimento que tem presa em sua extremidade uma esfera sólida homogênea de massa e raio . O mastro está preso em sua outra extremidade a uma parede no ponto P, fazendo um ângulo com a horizontal, como ilustra a figura. Utilize g para a aceleração da gravidade.
Calcule o momento de inércia rotacional do mastro em torno a um eixo perpendicular ao plano do papel (eixo ) que passe pelo ponto .
Calcule o vetor torque que a força da gravidade faz no mastro em relação ao ponto P.
Suponha que, devido a algum defeito na fixação da esfera, a mesma se solte da extremidade e caia verticalmente. Calcule o momento angular da esfera em relação aoponto P após ela ter caído durante um intervalo de tempo .
Ver solução completaUm disco de raio e massa e um cubo de lado e mesma massa, estão no topo de um plano com comprimento inclinado de com a horizontal. Existe atrito entre o plano inclinado e os dois objetos, os coeficientes de atrito cinético e atrito estático são respectivamente e . Na base do plano existe um trilho na vertical com o formato de um anel de raio como ilustra o desenho. A base do plano e o trilho têm superfícies com atrito desprezível. Na saída do trilho, está em repouso um segundo cubo idêntico ao primeiro com seu centro de massa na posição . Logo após o segundo cubo, a superfície horizontal apresenta um coeficiente de atrito cinético variável e no final desta superfície está uma mola com constante elástica . A superfície embaixo da mola tem atrito desprezível. A origem do sistema de coordenadas coincide com o centro do anel. A aceleração da gravidade é . Desenvolva as equações na forma literal para somente no final substituir as variáveis pelos valores fornecidos.
e) Imediatamente antes da colisão, calcule o momento angular , em relação à origem do sistema de coordenadas, do cubo que está em movimento. Suponha a velocidade do cubo imediatamente antes da colisão é de
Ver solução completaUma partícula de massa se move no plano com velocidade de módulo ao longo da direção dada pelo vetor . Calcule o momento angular da partícula em relação à origem do sistema de coordenadas em . Assinale a resposta correta.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) 0
Ver solução completaA figura a seguir mostra um dispositivo utilizado para puxar uma esfera oca de raio e massa rolando sem deslizar ao longo de um plano com inclinação em relação à horizontal. A esfera é puxada da base do plano inclinado a partir do repouso por uma roldana (disco sólido) de raio e massa pela aplicação de uma força constante na direção tangente à posição de uma manivela (comprimento e massa desprezível) fixada em um eixo que passa no centro de massa da roldana, conforme mostra a vista frontal do dispositivo. Adote , despreze os efeitos de atrito no eixo da roldana e considere o fio ideal.
A força é tal que suspende a esfera oca ao longo da rampa com uma aceleração de centro
de massa constante .
Determine a energia cinética da esfera oca dois segundos após o início do movimento.
Determine o vetor momento angular final da esfera oca, em relação ao seu centro de massa, dois segundos após o início do movimento.
Faça o diagrama do corpo livre para a esfera oca e para a roldana e escreva as equações que regem os movimentos destes corpos.
Obtenha o módulo da força aplicada à manivela.
Ver solução completaUma esfera de massa 4,0 𝑘𝑔 e um cubo de massa 2,0 𝑘𝑔 estão conectados por uma corda inextensível e de massa de desprezível. A corda passa por uma roldana de raio 1,0 𝑚 e massa 2,0 𝑘𝑔 que tem a forma de um disco como ilustrado esquematicamente na figura ao lado. Ambos os corpos estão com velocidade de módulo igual a 𝑣 (𝑚/𝑠). Calcule em o módulo do momento angular do sistema em relação ao centro da roldana.
(a)
(b)
(c) 7
(d)
(e)
Ver solução completaUm carrossel de raio com momento de inércia gira com velocidade angular . Uma pessoa de massa está parada próximo à borda do carrossel. A pessoa sobre no carrossel; sua velocidade antes de pisar no carrossel era desprezível. Responda justificando:
Qual será a velocidade angular do carrossel logo depois que a pessoa sobre?
Ver solução completaUm carrossel tem raio de e momento de inércia em relação ao seu eixo de . O carrossel está inicialmente em repouso quando uma menina de começa a caminhar sobre o carrossel com velocidade de em relação ao solo, tangente ao círculo de raio e concêntrico com o carrossel. Considere a menina como uma partícula e despreze o atrito no eixo do carrossel.
- A partir do instante em que a meina inicia a caminhada, qual o torque resultante externo, sobre o sistema {carrossel menina}, em relação ao eixo do carrossel?
- Calcule a velocidade angular do carrossel.
- O que acontecerá com o carrossel se inicialmente, ao invés de caminhar na direção tangencial, a menina caminhasse em direção ao centro do carrossel (direção radial)?
Qual é o módulo e a direção do momento angular de um disco homogêneo de massa 2,0 kg e diâmetro 4,0 cm girando com velocidade angular ω = 100 rad/s em torno de um eixo perpendicular ao seu plano e que passa pelo seu centro?
Ver solução completaUm corpo de massa desliza sobre uma superfície horizontal, preso a um fio que passa por um furo. A extremidade do fio está presa a uma massa . O corpo de massa gira sem atrito, fazendo uma trajetória raio , com velocidade angular suficiente para manter a massa suspensa. Se a massa suspensa cair para a metade do seu valor inicial, qual a razão entre o raio final e o raio inicial ?
Um pêndulo é constituído por uma partícula de massa m e um fio ideal de comprimento d preso ao teto em um ponto de fixação O. A partícula é solta a partir do repouso com o fio tensionado e fazendo um ângulo θ com a vertical (posição A). Quando o fio passa pela posição vertical a partícula tem uma velocidade de módulo v. Tomando todos os momentos angulares e torques relativos ao ponto de fixação O, denotando por e os momentos angulares da partícula nas posições A e B, e por e os torques sobre a partícula nas posições A e B, respectivamente, podemos afirmar que:
- e
- e
- e
- e
- e
Uma partícula de massa é lançada obliquamente de forma que sua velocidade inicial tem módulo e forma um ângulo com a horizontal. O momento angular da partícula no ponto mais alto de sua trajetória, calculado com relação ao ponto de lançamento tem módulo igual a:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)