O momento angular de um volante com um momento de inércia de em relação ao eixo central diminui de para em . (a) Qual é o módulo do torque médio em relação ao eixo central que age sobre o volante durante esse período? (b) Supondo que uma aceleração angular constante, de que ângulo o volante gira? (c) Qual é o trabalho realizado sobre o volante? (d) Qual é a potência média do volante?
Três partículas de massas iguais a movem-se na ausência de forças externas com velocidades e . Num dado instante elas ocupam as posições indicadas na figura abaixo. O vetor momento angular total deste sistema de partículas em relação a origem do eixo de coordenadas da figura é
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Considere uma partícula de massa presa ao teto em um suporte fixo por meio de um fio ideal de comprimento , formando um pêndulo. A partícula é solta a partir do repouso, com o fio esticado, a uma distância do teto; é o módulo da aceleração local da gravidade. Qual é o módulo do momento angular da partícula com relação ao ponto de sustentação do fio quando ela passa pelo ponto mais baixo da trajetória?
A Fig. 11-46 mostra o torque que age sobre um disco inicialmente estacionário que pode girar em torno do seu centro como um carrossel em função do tempo. Qual é o momento angular do disco em relação ao eixo de rotação nos intantes (a) e (b) ?
A figura mostra a trajetória reta de uma partícula de massa no plano com velocidade constante . É INCORRETO afirmar sobre o movimento que:
(a) o momento angular em relação a qualquer ponto do plano é constante.
(b) o momento angular em relação à origem é nulo.
(c) o momento angular em relação ao ponto de interseção da trajetória com o eixo é nulo.
(d) o torque total sobre a partícula é nulo.
(e) a força resultante sobre a partícula é nula.
Um avião de está voando em uma linha reta a , acima do solo. Qual é o módulo do momento angular do avião em relação a um ponto no solo verticalmente abaixo do local onde ele se encontra?
No instante da Fig. 11-41, duas partículas se movem em um plano . A partícula possui uma massa de e uma velocidade e está a uma distância do ponto . A partícula possui uma massa de e uma velocidade e está a uma distância do ponto . Quais são (a) o módulo e (b) a orientação do momento angular resultante das duas partículas em relação ao ponto ?
Uma esfera de massa , raio e momento de inércia , em relação ao eixo que passa pelo seu centro de massa, desce um plano inclinado (ver figura), rolando sem deslizar. A esfera parte do repouso e desce até o final do plano inclinado (ponto ), situado a uma altura em relação ao solo. Neste instante, ela tem velocidade angular , e entra em queda livre. Afirma-se que: Imediatamente antes de tocar o solo, a velocidade angular da esfera é . Imediatamente antes de tocar o solo, a velocidade angular da esfera continua com valor . O momento angular da esfera mantém-se perpendicular ao plano do movimento. Ao longo da queda livre, a energia cinética de rotação da esfera permanece constante. Qual(ais) da(s) afirmação(ões) acima está(ão) incorreta(s)?
Dois alteres e mostrados na figura giram em torno de seus respectivos centros de massa em torno de um eixo fixo e perpendicular ao seu comprimento. O haltere gira com velocidade angular constante e o haltere com velocidade angular constante . No haltere as massas de suas extremidades são iguais a e no haltere . Os módulos de seus momentos angulares e em relação aos respectivos centros de massa e as suas energias cinéticas e cinéticas são relacionados respectivamente como
Um aro elíptico homogêneo de massa é posto para girar com velocidade ao redor do seu eixo maior, em relação ao qual tem momento de inércia . Em seguida, é colocado para girar com mesma velocidade angular ao redor de seu eixo menor, em relação ao qual tem momento de inércia . Veja as figuras. Sobre os módulos dos momentos angulares e dos aros nas respectivas situações e , podemos afirmar que:
Um haltere é formado por duas partículas de massa , ligadas por uma barra rígida de massa desprezível e comprimento , e gira com velocidade angular em torno de um eixo fixo perpendicular a barra e passando pelo seu ponto médio. Um segundo haltere é formado por duas partículas de massa , ligadas por uma barra rígida de massa desprezível e comprimento , e gira com velocidade angular em torno de um eixo fixo perpendicular a barra e passando pelo seu ponto médio. Considerando que os halteres têm o mesmo momento angular, podemos afirmar que:
Uma partícula move-se com velocidade constante ao longo de uma reta paralela ao eixo que corta o em . Sejam , e os momentos angulares da partícula, relativos à origem , nos pontos , e , como indicados na figura. Os módulos dos momentos angulares são tais que
Uma barra delgada homogênea e uniforme, de massa e comprimento , é articulada num pino , que passa por uma de suas extremidades, e pode girar sem atrito num plano vertical. Liberada a partir do repouso na posição horizontal, a barra sofre uma colisão elástica com um pêndulo ao passar pela posição vertical, como representa a massa de dimensões desprezíveis presa à extremidade da haste. O pêndulo também pode oscilar em torno do pino, sem atrito, no mesmo plano vertical que a barra. Sabe-se que o pêndulo encontrava-se em repouso antes da colisão com a barra, e que o momento de inércia da barra em relação ao eixo perpenducular ao plano vertical e que passa pelo pino é
Considere uma partícula de massa presa ao teto em um suporte fixo por meio de um fio ideal de comprimento , formando um pêndulo. A partícula é solta a partir do repouso, com o fio esticado, a uma distância do teto; é o módulo da aceleração local da gravidade. Qual é o módulo do momento angular da partícula com relação ao ponto de sustentação do fio quando ela passa pelo ponto mais baixo da trajetória?
Considere um sistema formado por uma partícula e por uma mola ideal, conforme a figura. A partícula pode mover-se sobre uma mesa horizontal lisa sob a ação da força da mola, cuja outra extremidade está presa à mesa. É correto afirmar que:
Considere as afirmativas abaixo:
(I) Em uma colisão inelástica, o momento linear do sistema nunca é conservado.
(II) A velocidade do centro de massa de um sistema de partículas é sempre constante.
(III) Forças internas nunca alteram o momento linear total de um sistema de partículas.
(IV) O momento linear e o momento angular de um sistema de partículas sempre se conservam sob a ação de um par de forças externas de mesmo módulo, direção e sentidos opostos.
São verdadeiras apenas as afirmativas:
(a) I
(b) III
(c) II e IV
(d) II e III
(e) III e IV
Uma chapa retangular é colocada para girar com velocidade angular constante de duas maneiras diferentes, 1 e 2, como indicado na figura. Nos dois casos os eixos de rotação passam pelos seus centros de massa. As relações entre os módulos dos momentos angulares e , e entre as energias cinéticas de rotação e nas duas situações são
(a) e
(b) e
(c) e
(d) e
(e) e
Três partículas de massas iguais a movem-se na ausência de forças externas com velocidades e . Num dado instante elas ocupam as posições indicadas na figura abaixo. O vetor momento angular total deste sistema de partículas em relação a origem do eixo de coordenadas da figura é
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Qual é o ângulo entre o vetor momento linear de uma partícula e o seu vetor momento angular ? Justifique
Os dois sistemas mostrados na figura estão livres para girar em torno de eixos fixos que passam pelo centro dos discos. Eles diferem apenas pelas duas massas móveis posicionadas a diferentes distâncias do eixo de rotação. Se os blocos, que são iguais, são liberados simultaneamente a partir do repouso, qual das afirmações abaixo é correta?
(A) O bloco da direita chegará primeiro ao chão porque o momento de inércia em relação ao eixo de rotação é maior.
(B) O bloco da direita chegará primeiro ao chão porque o momento de inércia em relação ao eixo de rotação é menor.
(C) O bloco da esquerda chegará primeiro ao chão porque o momento de inércia em relação ao eixo de rotação é maior.
(D) O bloco da esquerda chegará primeiro ao chão porque o momento de inércia em relação ao eixo de rotação é menor.
(E) Os blocos chegarão ao chão ao mesmo tempo.
A figura mostra um sistema mecânico simples. Uma haste delgada de massa e comprimento está presa em uma extremidade por um pino e livre para girar sem atrito. Na outra extremidade se encontra presa uma esfera de massa e raio desprezível. Considere e a distância vertical
Considere agora o movimento do sistema abandonado do repouso no ponto A. Indique com o número apropriado o gráfico que representa cada uma das grandezas físicas do movimento em função do tempo até que o sistema finalmente alcance novamente o repouso no ponto C.
[1] O Momento Angular Total do Sistema.
[2] O Torque que Atua no Sistema
[3] A Energia Potencial Gravitacional.
[4] A Energia Mecânica Total
[5] A variação da Energia Potencial Gravitacional.
A figura mostra a trajetória reta de uma partícula de massa no plano com velocidade constante . É INCORRETO afirmar sobre o movimento que:
(a) o momento angular em relação a qualquer ponto do plano é constante.
(b) o momento angular em relação à origem é nulo.
(c) o momento angular em relação ao ponto de interseção da trajetória com o eixo é nulo.
(d) o torque total sobre a partícula é nulo.
(e) a força resultante sobre a partícula é nula.
Uma bola 1 de raio desprezível e massa encontra-se suspensa na extremidade de um fio inextensível, de massa desprezível e comprimento . Ela é atingida por uma bola 2,também de raio desprezível, de massa que desloca-se com velocidade , sobre uma canaleta horizontal, cuja extremidade encontra-se na posição da bola 1, como ilustrado na figura. A colisão é elástica.
(a) Determine os vetores velocidade das bolas imediatamente após a colisão.
(b) Determine o vetor velocidade da bola 1 no topo da trajetória.
(c) Calcule a tensão no fio quando a bola 1 está no topo da trajetória.
(d) Calcule o vetor momento angular do sistema em relação ao ponto de suspensão da bola 1 antes e imediatamente após a colisão.
Um cilindro oco (raio , ) rola para baixo em um plano inclinado (ângulo ) sem deslizar. Sobre a superfície do cilindro corre um menino (massa , que pode ser considerada como puntiforme), e ele consegue ficar sempre no ponto mais alto do cilindro. Considere .
Calcule o momento de inércia do cilindro em relação ao eixo instantâneo .
Ache a expressão para momento angular do sistema em torno do ponto em termos das massas, ângulo, raio e velocidade do centro de massa.
Qual é o torque total de forcas externas sobre o sistema em relação do ponto ?
Calcule o módulo da aceleração do cento de massa do cilindro.
Imagine que um objeto de perfil circular (com raio , massa e momento de inércia ) seja colocado no ponto da canaleta ilustrada abaixo com velocidade inicial nula. O atrito entre esse objeto e a canaleta é suficiente para que ele role sem deslizar e a resistência do ar é desprezível.
Esboce o diagrama das forças que agem sobre o objeto quando ele está no ponto da trajetória e escreva as equações do movimento, de translação e de rotação (não é necessário resolvê-las).
O ponto da trajetória indica o ponto mais alto que o objeto atinge após ser atirado verticalmente para cima, em . Explique em até duas linhas legíveis porque a velocidade angular do objeto, em torno do seu centro de massa, em e em são iguais.
Considere os seguintes perfis de densidade para o objeto (quanto mais escuro, mais denso), todos com a mesma massa. Liste-os, em ordem crescente de momento de inércia.
Para qual dos perfis acima o corpo sobe mais (ou seja, a distância é menor)?
Calcule a altura em função dos parâmetros , , , e .
Considere um sistema de cinco objetos puntiformes dispostos em um plano de acordo com a figura a seguir. Cada um dos quatro objetos periféricos possui massa igual a , enquanto que o quinto, localizado na origem do sistema de coordenadas indicado na figura, tem massa . Eles são unidos por hastes rígidas e de massas desprezíveis.
Calcule o momento de inércia do sistema em relação ao eixo passando pelos objetos e .
Calcule o momento de inércia do sistema em relação ao eixo perpendicular ao plano da figura e passando pela origem.
Calcule o momento de inércia do sistema em relação ao eixo perpendicular ao plano da figura e passando pelo ponto indicado na figura.
O sistema, inicialmente em repouso, recebe um impulso conforme ilustra a figura. Qual é a velocidade subsequente do centro de massa? Escreva sua resposta em função de , e .
Ainda considerando a situação descrita no item anterior, qual é a velocidade angular do sistema, em torno de seu centro de massa, imediatamente após o impulso? Escreva sua resposta em função de , e .
Após o impulso o sistema passa a rodar no sentido anti-horário do plano. Seja e . Obtenha o módulo e o sentido do torque aplicado no sistema por uma força resistiva, sabendo que a velocidade angular decresce linearmente de até em segundos.
Considere um projétil de massa movimentando-se no plano de um sistema de coordenadas nas situações descritas pelos itens abaixo. Adotamos nesta questão um sistema de unidades arbitrário, onde a constante gravitacional de Newton é igual a . Expresse seus resultados em função de onde for necessário.
O projétil desloca-se isoladamente em movimento retilíneo uniforme. Sua posição em função do tempo é dada por onde e são os versores dos eixos e , respectivamente. Qual é o módulo e o sentido do vetor momento angular do projétil com relação à origem desse sistema de coordenadas? Justifique.
Nos itens subsequentes, considere um planeta de massa , com , fixo na origem do sistema de coordenadas. Para os itens , e , o planeta é puntiforme e a condição inicial do projétil é e .
Determine o vetor momento angular e a energia total do projétil.
Qual é a forma geométrica que descreve a trajetória? Justifique. Dica: ache o raio de equilíbrio minimizando o potencial efetivo e tire suas conclusões.
Faça um esboço bem qualitativo da trajetória do projétil com relação à posição do planeta indicando, em dois pontos distintos da trajetória, as orientações dos versores das coordenadas polares.
O planeta agora é uma esfera de raio com densidade que varia radialmente de a de acordo com
Ou seja, é mais denso em seu centro do que em sua superfície. O projétil agora encontra-se em repouso na superfície do planeta. Partindo da equação da energia total do projétil obtenha a velocidade mínima, em termos de , para que o projétil escape para bem longe do planeta (velocidade de escape).
Um ginasta executa um salto mortal. Para isso, enquanto está no ar, dobra o corpo. Podemos dizer que durante sua subida no salto, após perder o contato com o solo, seu momento de inércia em relação ao eixo passando pelo seu centro de massa (perpendicular ao plano do desenho), seu momento angular em relação ao seu centro de massa e sua energia mecânica total, respectivamente,
a) Diminui, se mantém, se mantém.
b) Diminui, se mantém,aumenta.
c) Diminui, diminui, diminui.
d) Aumenta, aumenta, aumenta.
e) Aumenta, diminui, se mantém.
Uma pá da hélice de um helicóptero pode ser considerada como sendo uma barra uniforme e longa. Se cada uma das três pás do rotor de um helicóptero possui de comprimento e de massa, determine:
(a) O momento de inércia de cada uma das três pás do rotor com relação ao eixo de rotação, e o momento de inércia do conjunto.
(b) O módulo, direção e sentido do torque (constante) que o motor deve exercer sobre o rotor para levá-lo (do repouso) a uma velocidade angular de rotações por segundo em segundos (deixe claro sua escolha de sistema de coordenadas).
(c) A energia cinética e o momento angular (módulo, direção e sentido) do conjunto em .
Dado: Para uma barra, o momento de inércia com relação ao eixo (perpendicular a barra) que passa pelo centro de massa vale .
A figura a seguir mostra um dispositivo utilizado para puxar uma esfera oca de raio e massa rolando sem deslizar ao longo de um plano com inclinação em relação à horizontal. A esfera é puxada da base do plano inclinado a partir do repouso por uma roldana (disco sólido) de raio e massa pela aplicação de uma força constante na direção tangente à posição de uma manivela (comprimento e massa desprezível) fixada em um eixo que passa no centro de massa da roldana, conforme mostra a vista frontal do dispositivo. Adote , despreze os efeitos de atrito no eixo da roldana e considere o fio ideal.
A força é tal que suspende a esfera oca ao longo da rampa com uma aceleração de centro
de massa constante .
Determine a energia cinética da esfera oca dois segundos após o início do movimento.
Determine o vetor momento angular final da esfera oca, em relação ao seu centro de massa, dois segundos após o início do movimento.
Faça o diagrama do corpo livre para a esfera oca e para a roldana e escreva as equações que regem os movimentos destes corpos.
Obtenha o módulo da força aplicada à manivela.
Um mastro de uma bandeira pode ser modelado por um ahaste homogênea de massa e comprimento que tem presa em sua extremidade uma esfera sólida homogênea de massa e raio . O mastro está preso em sua outra extremidade a uma parede no ponto P, fazendo um ângulo com a horizontal, como ilustra a figura. Utilize g para a aceleração da gravidade.
Calcule o momento de inércia rotacional do mastro em torno a um eixo perpendicular ao plano do papel (eixo ) que passe pelo ponto .
Calcule o vetor torque que a força da gravidade faz no mastro em relação ao ponto P.
Suponha que, devido a algum defeito na fixação da esfera, a mesma se solte da extremidade e caia verticalmente. Calcule o momento angular da esfera em relação aoponto P após ela ter caído durante um intervalo de tempo .
Uma partícula de massa se move no plano com velocidade de módulo ao longo da direção dada pelo vetor . Calcule o momento angular da partícula em relação à origem do sistema de coordenadas em . Assinale a resposta correta.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) 0