Enunciado

A figura abaixo, onde A B e C D são adiabáticas, representa o ciclo de Otto, esquematização idealizada do que ocorre num motor a gasolina de 4 tempos: A B representa a compressão rápida (adiabática) da mistura de ar com vapor de gasolina, de um volume inicial V 0 para V 0 / r ( r = taxa de compressão); B C representa o aquecimento a volume constante devido à ignição; C D é a expansão adiabática dos gases aquecidos, movendo o pistão; D A simboliza a queda de pressão associada à exaustão dos gases da combustão. A mistura é tratada como um gás ideal de coeficiente adiabático γ . (a) Mostre que o rendimento do ciclo é dad por

η = 1 - T D - T A T C - T B = 1 - 1 r γ - 1

(b) Calcule η para γ = 1,4 e r = 10 (compressao máxima permissível para evitar pré-ignição).

Passo 1

(a) Vamos começar lembrando da fórmula para o rendimento:

η = W Q

Então beleza, precisamos calcular o trabalho realizado e o calor absorvido ao longo de cada ciclo.

Pra isso vamos precisar dessa fórmula aqui:

W i → f = - P f V f - P i V i γ - 1

Que pela lei dos gases ideias, é a mesma coisa que:

W i → f = - n R T f - n R T i γ - 1

O trabalho só não é nulo em dois trechos: A B e C D , e aí é só substituir na fórmula:

W A B = - n R T B - n R T A γ - 1

W C D = - n R T D - n R T C γ - 1

Ou seja, o trabalho total é:

W A B + W C D = - n R γ - 1 T B - T A + T D - T C

Passo 2

E agora temos que calcular o calor absorvido em cada ciclo. Lembrando que A B e C D são adiabáticos, ou seja, não temos troca de calor.

No trecho D A a temperatura está diminuindo, então o calor só é absorvido no outro trecho, que é B C .

Pela primeira lei da termodinâmica:

Δ U B C = Q B C - W B C

E já que o volume é constante nesse processo, o trabalho W B C é nulo:

Q B C = Δ U B C

E agora vamos usar a fórmula para a variação de energia interna:

Q B C = n C v   T C - T B

Dá pra escrever C v em função de γ usando essa fórmula aqui:

γ = R γ - 1

Então:

Q B C = n R γ - 1   T C - T B

Agora podemos voltar na fórmula do rendimento η :

η = W Q = - n R γ - 1 T B - T A + T D - T C n R γ - 1   T C - T B

η = - T B - T A + T D - T C   T C - T B

η = - T B + T A - T D + T C   T C - T B

Organizando um pouco:

η = T C - T B + T A - T D   T C - T B

E agora chegamos na fórmula que aparece no enunciado:

η = 1 - T D - T A   T C - T B

Passo 3

Agora fica faltando a segunda parte da igualdade:

η = 1 - 1 r γ - 1

Pra demonstrar isso, vamos começar olhando para os dois processos adiabáticos: A B e C D .

P A V A γ = P B V B γ P C V C γ = P D V D γ

P A V 0 γ = P B V 0 r - 1 γ P C V 0 r - 1 γ = P D V 0 γ

P A = P B r - γ P D = P C r - γ

E agora vamos usar a lei dos gases ideais em cada um dos pontos:

P A V A = n R T A P B V B = n R T B P C V C = n R T C P D V D = n R T D

Substituindo os volumes de acordo com o gráfico:

P A V 0 = n R T A P B V 0 r = n R T B P C V 0 r = n R T C P D V 0 = n R T D

E substituindo as pressões P A e P D usando a conta que ali de cima:

P B r - γ V 0 = n R T A P B V 0 r = n R T B P C V 0 r = n R T C P C r - γ V 0 = n R T D

Agora vamos tentar usar esse sistema pra demonstrar a equação que aparece no enunciado.

Passo 4

Primeiro subtraímos a primeira equação da última, pra encontrar a diferença de temperaturas T D - T A :

P C r - γ V 0 - P B r - γ V 0 = n R T D - T A

T D - T A = V 0 r - γ n R P C - P B

E então fazemos a mesma coisa com a terceira e a segunda equações pra encontrar T C - T B

P C V 0 r - P B V 0 r = n R T C - n R T B

T C - T B = V 0 r n R P C - P B

E então, pra voltar na fórmula do enunciado, vamos fazer a razão entre essas duas diferenças de temperaturas:

T D - T A T C - T B = V 0 r - γ n R P C - P B V 0 r n R P C - P B

T D - T A T C - T B = V 0 r - γ n R   r n R V 0

T D - T A T C - T B = r 1 - γ = 1 r γ - 1

E pela fórmula que demonstramos no passo de cima:

η = 1 - T D - T A   T C - T B = 1 - 1 r γ - 1

Pronto! Conseguimos demonstrar a fórmula do item (a).

Passo 5

(b) Agora é só substituir os valore numéricos para calcular η :

η = 1 - 1 r γ - 1

Como γ = 1,4 e r = 10 :

η = 1 - 1 10 1,4 - 1

η ≈ 60 %

Resposta

(a) Demonstração.

(b) η ≈ 60 % .

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