Enunciado

O ciclo de Joule, representado na figura abaixo, onde A B e C D são adiabáticas, é uma idealização do que ocorre numa turbina a gás: B C e D A representam respectivamente aquecimento e resfriamento a pressão constante; r = P B / P A é a taxa de compressão. (a) Mostre que o rendimento do ciclo de Joule é dad por

η = 1 - 1 r γ - 1 γ

(b) Calcule o rendimento para r = 10 .

Passo 1

(a) Nosso primeiro objetivo é calcular o rendimento, que segue essa fórmula aqui:

η = W Q

E o primeiro passo pra fazer isso é usar a relação que vale para os processos adiabáticos:

P A V A γ = P B V B γ

P D V D γ = P C V C γ

Mas olhando o gráfico, dá pra ver que P A = P D = P 0 e P B = P C = r P o :

P 0 V A γ = r P o V B γ

P 0 V D γ = r P o V C γ

Cortando P 0 e elevando os dois lados a 1 / γ :

V A = r 1 / γ V B

V D = r 1 / γ V C

Beleza, isso vai ajudar a calcular o trabalho realizado em cada trecho.

Passo 2

Nos trechos isobáricos, a fórmula do trabalho é essa aqui:

W = P Δ V

E nos trecho adiabáticos, a fórmula é essa:

W i → f = - P f V f - P i V i γ - 1

Então, percorrendo o ciclo todo, vamos achar o seguinte:

W A B = - P B V B - P A V A γ - 1 W B C = P B V C - V B W C D = - P D V D - P C V C γ - 1 W D A = P D V A - V D

Agora é a hora de usar as relações que a gente demonstrou no último passo:

W A B = - P 0 V B   r - r 1 γ γ - 1 W B C = r P 0 V C - V B W C D = P 0 V C   r - r 1 γ γ - 1 W D A = P 0 r 1 / γ V B - r 1 / γ V C

Passo 3

O trecho em que o gás recebe calor é B C , e precisamos calcular essa quantidade Q B C . Uma boa ideia é usar a primeira lei da termodinâmica:

Q B C = W B C + Δ U B C

Q B C = r P 0 V C - V B + n C v T C - T B

Ok, dá pra melhorar esse último termo:

n C v T C - T B

Lembrando que C v = R / ( γ - 1 )

n R γ - 1 T C - T B

E além disso:

n R T B = P B V B = r P 0 V B n R T C = P C V C = r P 0 V C

Substituindo isso:

r P 0 γ - 1 V C - V B

Beleza, voltando pro cálculo do calor:

Q B C = r P 0 V C - V B + r P 0 γ - 1 V C - V B

Passo 4

Agora vamos para o cálculo do rendimento, com certeza vai ser uma conta bem grande:

η = W Q

Onde W é o trabalho total e Q é o calor absorvido pelo gás:

η = W A B + W B C + W C D + W D A Q B C

η = - P 0 V B   r - r 1 γ γ - 1 + r P 0 V C - V B + P 0 V C   r - r 1 γ γ - 1 + P 0 r 1 / γ V B - V C r P 0 V C - V B + r P 0 γ - 1 V C - V B

Vamos agrupar alguns termos no numerador:

η = P 0 V C - V B   r - r 1 γ γ - 1 + r P 0 V C - V B r - r 1 γ r P 0 V c - V B 1 + 1 γ - 1

Agora a gente pode cortar esse P 0 V C - V B :

η =   r - r 1 γ γ - 1 + r - r 1 γ r + r γ - 1

E multiplicando tudo por γ - 1 :

η =   r - r 1 γ + γ - 1 r - r 1 γ r γ - 1 + r

Agora é só simplificar até chegar na forma do enunciado:

η =   γ r - r 1 γ r γ

η = 1 - r 1 γ - 1

η = 1 - r - γ - 1 γ

η = 1 - 1 r γ - 1 γ

Pronto, demonstramos!

Passo 5

(b) Quando r = 10 , o rendimento é:

η = 1 - 1 10 γ - 1 γ

E já que o gás é diatômico, γ = 1,4 , então:

η = 1 - 1 10 1,4 - 1 1,4

η ≈ 48 %

Resposta

(a) Demonstração.

(b) η = 48 % .

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