Enunciado

O potencial de Morse, que é frequentemente usado para modelar forças interatômicas, pode ser escrito na forma U r = D ( 1 - e - β r - r 0 ) 2 , em que r é a distância entre os dois núcleos atômicos. (a) Usando um programa de planilha ou calculadora gráfica, faça um gráfico do potencial de Morse usando D   =   5,00   e V , β = 0.20 n m - 1 , e r 0 = 0.750 n m . (b) Determine a separação do equilíbrio e a "constante da mola" para pequenos deslocamentos do equilíbrio para o potencial de Morse. (c) Determine uma expressão para a frequência de oscilação de uma molécula diatômica homonuclear (ou seja, dois dos mesmos átomos), onde cada átomo possui massa m.

Passo 1

Na letra (a) todas as informações sobre o potencial são dadas e precisamos apenas plotar a função do potencial em relação a r:

Passo 2

Na letra (b), iremos derivar e igualar a zero o potencial para obtermos a separação do equilíbrio:

d U d r = d d r D 1 - e - β r - r 0 2 = - 2 β D 1 - e - β r - r 0

Igualando a zero:

- 2 β D 1 - e - β r - r 0 = 0

e - β r - r 0 = 1

Aplicando logaritmo natural dos dois lados:

- β r - r 0 = 0

r = r 0

Que é a separação, com ela iremos calcular a ‘constante da mola’, para isso derivamos novamente:

d 2 U d r 2 = 2 β 2 D e - β r - r 0

E aplicando r = r 0 :

d 2 U d r 2 r = r 0 = 2 β 2 D

Passo 3

Como a equação do potencial para um oscilador harmônico simples é:

U = 1 2 k x 2

d 2 U d r 2 = k

Então:

2 β 2 D = k

Que é a constante de mola.

Passo 4

Por fim, na (c) vamos utilizar a equação da frequência angular para um sistema massa-mola ( já que a ligação entre duas moléculas pode ser aproximada a isso):

ω = k μ

Onde μ é a massa reduzida do sistema de duas massas, ou seja:

μ = m 1 m 2 m 1 + m 2

Como a molécula é formada por dois átomos iguais, as massas serão iguais, então:

μ = m 2 2 m = m 2

Substituindo na equação da velocidade angular:

ω = k m / 2

Substituindo k do passo anterior:

ω = 2 β 2 D m / 2 = β D m

Resposta

b k = 2 β 2 D

( c ) ω = β D m

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