Enunciado

Na figura, dois blocos ( m = 1,8   k g e M = 10     k g ) e uma mola ( k = 200   N / m ) estão dispostos em uma superfície horizontal sem atrito. O coeficiente de atrito estático entre os dois blocos é 0,40 . Que amplitude do movimento harmônico simples do sistema blocos-mola faz com que o bloco menor fique na iminência de deslizar sobre o bloco maior?

Passo 1

Show de bolinhas galerinha bonita, tudo beleza?

Se liga só, nesse exercício aqui, temos dois blocos um em cima do outro, o primeiro tem massa M = 10   kg enquanto que o segundo tem massa m = 1,8   kg , o bloco de baixo está conectado a uma mola de constante elástica k = 200   N/m e estão dispostos em uma mesa horizontal sem atrito.

Sabendo que o coeficiente de atrito estático entre os dois blocos é μ = 0,40 , o enunciado quer que a gente encontre qual a amplitude do MHS do sistema blocos-mola faz com que o bloco menor fique na iminência de deslizar sobre o bloco maior.

Mas calma lá meu patrão, vamos com calma, primeiro vamos começar entendendo o que significa estar “na iminência de deslizar”. Bom, a gente sabe que, em geral, a força que impede o deslizamento é o atrito estático, dado como:

f a t = μ N

Onde μ é o coeficiente de atrito estático, e N é a força normal, que nesse caso vai ser igual ao peso, já que o bloco laranja está bem apoiado no vermelho. Então:

f a t = μ ( m g )

Beleza. Agora ainda pensando no bloco laranja: com quem esse atrito vai competir? Bom, quando o bloco oscila junto com o resto do oscilador, ele tem uma aceleração, vamos chamar de a o (aceleração do oscilador). Então a força associada a isso é:

F = m a o

Passo 2

Iradoso, então quando ele está na iminência de deslizar, é porque a força de atrito já está resistindo o máximo possível, então:

m a o = μ ( m g )

a o = μ g

E como queremos o caso limite, essa a o é a aceleração máxima do oscilador, uma fórmula que a gente já conhece bem é dada por:

a 0 = ω 2 x m

Onde x m é amplitude do movimento, sendo assim, podemos igualar as equações de modo que:

ω 2 x m = μ g

E nosso objetivo é achar a amplitude que mantém essa situação aí. Então vamos isolar x m :

x m = μ g ω 2

Já sabemos que μ = 0,4 e g = 9,8   m/ s 2 , falta achar o valor de ω . Bora lá!

Passo 3

A fórmula da frequência angular ω é:

ω = k M t

Onde, nesse caso, k é a constante elástica da mola, e M t é a massa total do sistema, segue que:

ω = k M + m

ω = 200 10 + 1,8

ω = 200 11,8

E substituindo isso na fórmula de cima, vamos obter que:

x m = μ g ω 2

x m = 0,4 9,8 200 11,8 2

x m = 0,4 9,8 200 11,8

Portanto:

x m = 0,4 9,8 11,8 200

x m = 0,23   m

Pronto!

Resposta

x m = 0,23   m

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