Enunciado

18. Uma massa de 0,500   k g oscilador em uma mola tem a velocidade em função do tempo dada por v x t = 3,60   c m / s sin ⁡ [ 4,71   s - 1 t - π / 2 ] . Qual é ( a ) o período; ( b ) a amplitude; ( c ) a aceleração máxima da massa; ( d ) a constante da mola?

Passo 1

Vamos então analisar a função fornecida pelo enunciado. A forma mais geral dessa função é a seguinte:

v t = - ω A sin ⁡ ( ω t + ϕ )

Comparando as duas funções é possível obter as seguintes informações.

ω = 4,71   r a d / s

ϕ = π 2

E que:

ω A = 3,60   c m / s = 0,036   m / s

Logo:

A = 0,036 ω

Bem, pelo menos a amplitude já sabemos com achar, agora falta os outros.

Para encontramos o valor do período com as informações que temos, podemos usar a equação 13.12

T = 2 π ω

Como já sabemos o valor de ω , fica fácil de encontrar T .

Para acharmos a aceleração máxima, vamos usar a equação 13.8

a x = - ω 2 x

Tá, e como tiramos a aceleração máxima disso? Bem, se lembrarmos que na posição que equivale a amplitude temos a aceleração máxima, ficamos com o seguinte:

a m á x = - ω 2 A

E por último para encontramos o valor k , precisamos lembrar da seguinte relação:

ω = k m

Assim, isolando k , ficamos com:

k = ω 2 m

Passo 2

Vamos então começar achando a amplitude. Temos que:

A = 0,036 ω

Sendo ω = 4,71   r a d / s , temos:

A = 0,036 4,71

= 0,00764   m

Passo 3

Agora vamos achar quanto vale T , já que sabemos que:

T = 2 π ω

Assim, ficamos com:

T = 2 π 4,71

= 1,33   s

Passo 4

Vamos então agora achar a aceleração máxima, lembrando da fórmula:

a m á x = - ω 2 A

Como já temos o valor de ω e A , basta substituir na fórmula acima.

a m á x = - 4,71 2 * 0,00764

= - 0,169   m / s 2

Passo 5

Até que enfim a última coisa a ser encontrada, que é o valor de k , basta usar a seguinte fórmula mostrada no passo 1 .

k = ω 2 m

= 4,71 2 * 0,5

= 11,1   N / m

Resposta

( a )

T = 1,33   s

( b )

A = 0,0 0764   m

( c )

a m á x = - 0,169   m / s 2

( d )

k = 11,1   N / m

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