Enunciado

A figura ao lado mostra um acelerômetro, um dispositivo para medir a aceleração horizontal de carros e aeroplanos. Uma bola é livre para rolar sobre um trilho parabólico descrito pela equação y = x 2 , onde tanto x quanto y estão em metros. Na base, uma escala é usada para determinar a posição x da bola.

  1. Obtenha uma expressão que lhe permita usar uma posição medida x (em m) para calcular a aceleração no eixo x (em m / s 2 ). (Por exemplo, a x = 3 x 􏰑é uma expressão possível.)
  2. Qual é a aceleração se x = 20 cm?

Passo 1

Olhando pra letra a:

Primeiramente, vamos considerar θ como sendo o ângulo que a bolinha faz com a horizontal em cada instante de tempo. Agora, vamos escrever a segunda lei de Newton para o eixo x da bolinha

F x = n s e n ( θ ) = m a x

E pro eixo y

F y = n c o s ( θ ) - F g = 0

E a gente quer a aceleração, então vamos substituir

m a x = F g c o s ( θ ) s e n ( θ ) = m g ⋅ t a n ( θ )

Aí a gente pode cortar as massas

a x = F g c o s ( θ ) s e n ( θ ) = g ⋅ t a n ( θ )

Isso significa que a aceleração tá dependendo da tangente do ângulo no qual a bolinha está fazendo com a horizontal em cada momento do movimento. Mas aqui que tá a sacada! Lembra que a derivada de uma função em um ponto x é tangente a este ponto? Vamos derivar a função da trajetória ( y = x 2 ).

d y d x = t a n ( θ ) = 2 x

Se a derivada é 2x, essa é a tangente do ângulo também. Podemos substituir!

a = g ⋅ t a n ( θ ) = 2 x ⋅ g

Passo 2

No item b, a gente só precisa usar a expressão que achamos no item a e aplicar o x = 20 cm. Mas cuidado que a nossa expressão estava em metros, ok?

a x = 2 x ⋅ g

a = 2 ( 0.20 ) ⋅ 9.80 = 3.9 m / s 2

Resposta

  1. a = 2 x ⋅ g
  2. 3.9 m / s 2
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