Enunciado

Uma artista amiga sua precisa de ajuda para pendurar uma escultura de 500 lb no teto. Por razões artísticas, ela deseja usar apenas duas cordas. Uma delas deverá formar 30° com a vertical, e a outra, 60°. Ela precisa que você determine o mínimo diâmetro da corda que poderá sustentar com segurança esta valiosa peça de arte. Depois de visitar lojas de ferragens, você descobre que as cordas são fabricadas com incrementos de 1/8 de polegada no diâmetro e que a carga segura recomendada é de 4.000 libras por polegada quadrada de secção transversal. Qual é o diâmetro da corda que você deve comprar?

Passo 1

Fala aí! Visualiza que nosso problema se parece com isso aqui:

E a gente quer descobrir as tensões. Como são duas variáveis, vamos precisar de duas equações pra resolver… E a gente pode descobrir aplicando a segunda lei de newton separadamente nos componentes x e y. Olha:

F x = T 1 c o s ( 30 º ) + T 2 c o s ( 60 º ) - m g = 0

F x = T 1 c o s ( 30 º ) + T 2 c o s ( 60 º ) = m g

Agora pra y:

F y = T 1 s i n ( 30 º ) + T 2 s i n ( 60 º ) = 0

Assim, a gente pode relacionar as duas tensões

T 1 = T 2 s i n ( 60 º ) s i n ( 30 º )

Agora a gente pode substituir em uma das equações.

m g = T 1 c o s ( 30 º ) + T 2 c o s ( 60 º )

m g = ( T 2 s i n ( 60 º ) s i n ( 30 º ) ) c o s ( 30 º ) + T 2 c o s ( 60 º )

T 2 = 250 l b s

Agora, a gente pode descobrir T1 com a relação que a gente encontrou.

T 1 = T 2 s i n ( 60 º ) s i n ( 30 º )

T 1 = 250   ⋅   s i n ( 60 º ) s i n ( 30 º )

T 1 = 433 l b s

Pronto! Sabemos a tensão necessária pra cada uma das cordas. A gente precisa saber o diâmetro necessário correspondente.

Passo 2

O enunciado diz que o ideal é ser 4000 lbs por polegada quadrada, então a gente tem que verificar qual o diâmetro necessário pra atingir essa meta. Bora fazer a regra de três. Vamos considerar a tensão maior pra fazer as contas (melhor sobrar força do que faltar, certo?!)

A área da da secção transversal é dada por

A   =   1 4 π d 2

4000   = 433 ( 1 / 4 ) π d 2

E como queremos o diâmetro, vamos isolar o d.

d   =   4 ( 433 ) π ( 4000 ) = 0.371   i n c h

Isso significa que nossa corda tem que ter um diâmetro mínimo de 0.371 polegadas. Porém, o cara da loja só vende diâmetros múltiplos de ⅛. Precisamos saber o mínimo suficiente.

Passo 3

Pra saber o diâmetro mínimo suficiente disponível na loja, vamos fazer outra regra de 3.

0.371   = x 8

x = 2.968

Isso significa que o diâmetro mínimo disponível pra gente comprar é o de ⅜.

Resposta

⅜ polegadas.

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