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A figura mostra uma visão posterior de uma cápsula espacial que ficou girando rapidamente em torno de seu eixo, a 30   r e v / m i n , após uma colisão com outra cápsula. Você é o controlador de voo e tem pouco tempo para instruir a tripulação sobre como parar essa rotação antes que todos fiquem enjoados devido à rotação e a situação se torne perigosa. Você sabe que eles têm acesso a dois pequenos jatos montados tangencialmente a uma distância R = 3,0   m a partir do eixo, como indicado na figura. Estes jatos podem ejetar, cada um 10   g / s de gás, com uma rapidez de 800   m / s . Determine o intervalo de tempo em que estes jatos devem funcionar para parar a rotação. Em voo, o momento de inércia (suposto constante) da cápsula em relação ao seu eixo vale 4000   k g   m 2 .

Passo 1

É preciso que esses jatos produzam uma variação no momento angular da cápsula. Como podemos relacionar essa variação com o torque gerado por cada jato?

τ = d L d t

E então:

τ Δ t = Δ L

E a variação de momento angular, considerando que o momento de inércia permanece constante, é:

Δ L = I Δ ω

Então:

τ Δ t = I Δ ω

Passo 2

Cada um dos jatos produz uma força F e está a uma distância perpendicular de 3   m em relação ao eixo, portanto o torque gerado por eles é:

τ = 2 F R

2 F R Δ t = I Δ ω

Nosso objetivo é calcular o intervalo de tempo necessário para parar a rotação da cápsula, então vamos isolar Δ t :

Δ t = I Δ ω 2 F R

Passo 3

Falta encontrar uma expressão para a força F exercida pelos jatos.

Quando expelimos 10   g = 0,01   k g de gás a cada segundo, com uma rapidez de 800   m / s , a força exercida é a seguinte:

F = d p d t = d d t ( m v )

F = d m d t v + m d v d t

Nesse caso, o segundo termo é nulo, já que a rapidez é constante, e ficamos apenas com o primeiro termo:

F = d m d t v

Substituindo isso na expressão de antes:

Δ t = I Δ ω 2 d m d t v R

Agora é só determinar alguns valores numéricos:

Δ ω = 30 r e v m i n 1   m i n 60   s 2 π r e v = π   r a d / s

d m d t = 0,01 k g s

E substituir

Δ t = 4000 π ( 2 ) ( 0,01 ) ( 800 ) ( 3,0 ) ≅ 2,6   .   10 2   s

Resposta

Esses jatos devem funcionar por cerca de 2,6   .   10 2   s para parar a rotação.

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