Enunciado

Na física de alta energia, novas partículas podem ser produzidas mediante a colisão entre partículas com energias elevadas e partículas em repouso. Uma parte da energia cinética da partícula incidente é usada para produzir a massa de repouso da nova partícula. A colisão de um próton com outro próton pode produzir um káon positivo K + juntamente com um káon negativo K - :

p + p → K + + K -

  1. Calcule a energia cinética mínima do próton incidente para que a reação anterior ocorra, sabendo que o segundo próton (o alvo) esta inicialmente em repouso. A energia de repouso de cada káon é igual a 493,7 M e V e a energia de repouso de cada próton é igual a 938,3 M e V . (Sugestão: neste caso é conveniente usar um sistema de referência para o qual o momento linear seja igual a zero. Veja o problema 8.100 , no volume 1 ; observe, no entanto, que agora você deve usar as transformações de Lorentz para relacionar as velocidades no sistema no qual o momento linear total é igual a zero).
  2. Como essa energia cinética mínima calculada se compara com a energia de repouso dos káons criados?
  3. Em vez da hipótese anterior, suponha que os dois prótons estejam em movimento com velocidades de mesmo módulo e sentidos contrários. Calcule a energia cinética mínima do sistema dos dois prótons para que a reação mencionada ocorra. Como essa energia cinética mínima calculada se compara com a energia de repouso dos káons criados? (Este exemplo mostra que, quando usamos feixes de partículas colidindo em sentido contrários, as energias necessárias para produzir a reação são substancialmente menores do que as empregadas quando o alvo está em repouso).

Passo 1

Olá, tudo bem? Vou ajudar você nessa questão! Vamos começar?

Letra a)

O sistema de referência que o momento linear é o que vamos usar aqui. Os dois prótons possuem massas iguais, e se aproximam com a mesma velocidade. Após a colisão, essas duas partículas permanecem em repouso, mas agora há a existência dos kaons. Então toda a energia cinética dos prótons é convertida em energia de repouso dessas novas partículas.

E em relação a essas energias temos:

2 γ - 1 m p c 2 = 2 m K c 2

E a partir dessa relação de energia podemos encontrar o fator de correção relativístico:

γ - 1 = 2 m K c 2 2 m p c 2 = m K m p

A massa do próton é 938,3 M e V e a do kaon vale 493,7 M e V , então o fator γ c m pode ser calculado, saca só:

γ - 1 = m K m p

γ = 1 + 493,7 938,3 = 1,526

E a velocidade no referencial em que o momento é zero pode ser calculada:

v = c γ 2 - 1 γ 2 = c . 1,526 2 - 1 1,526 2

v = 0,7554 c

Com a velocidade do centro de massa e juntamente com a transformação de Lorentz, podemos finalmente encontrar a velocidade do próton incidente, equação 37.23 do livro:

v l a b = v ' + u 1 + u v ' c 2 = 2 v c m 1 + v c m 2 c 2

v l a b = 2 ( 0,7554 c ) 1 + 0,7554 c 2 c 2 = 0,9619 c

E com a velocidade, podemos achar a energia cinética, saca só:

K l a b = γ l a b - 1 m p c 2

Mas antes, vamos achar o fator de correção relativístico:

γ l a b = 1 1 - v l a b 2 / c 2 = 1 1 - 0,9619 c 2 / c 2 = 3,658

E, agora sim, calcular a energia cinética:

K l a b = γ l a b - 1 m p c 2 = 3,658 - 1 1,67 × 10 - 27 . 3 × 10 8 2 = 1,33 × 10 - 10 J = 2494 M e V

Passo 2

Letra b)

A energia do próton incidente é 2494 M e V , e a energia dos kaons criados vale 2 . 493,7 M e V = 987,4 M e V , e pra saber a relação entre essas duas energias é só dividir um valor pelo outro:

K l a b K k a o n s = 2494 M e V 987,4 M e V = 2,52

K l a b = 2,52 K k a o n s

Passo 3

Letra c)

O caso considerado na letra (a) é o mesmo que nesta situação! Nesse referencial, o momento linear também é nulo. Então, a energia cinética necessária é duas vezes o valor da energia de repouso dos kaons:

K k a o n s = 2 493,7 M e V = 987,4 M e V

Isso oferece uma vantagem substancial sobre o experimento com o alvo fixo da parte (b). É preciso menos energia para criar dois kaons no centro onde o momento linear é nulo.

Beleza? Espero ter ajudado!

Resposta

a ) 2494 M e V

b ) K l a b = 2,52 K k a o n s

c ) K = 987,4 M e V

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