Enunciado

A fita em um videocassete VHS padrão tem um comprimento total de 246 m , o suficiente para operar durante 2,0 h . Quando no início, o carretel cheio tem um raio externo de 45 m m e um raio interno de 12 m m . Em algum momento da operação, os dois carretéis têm a mesma rapidez angular. Calcule esta rapidez angular em radianos por segundo e em revoluções por minutos. Dica: Entre os dois carretéis, a fita corre com rapidez constante.

Passo 1

Aqui o que a gente tem que perceber é o seguinte: como v = ω r , as duas fitas vão ter a mesma velocidade angular e tangencial quando os raios forem iguais!

A segunda coisa que temos que perceber é que nas duas situações a quantidade de fita é a mesma, já que ela desenrolou de um lado e foi pro outro. Então as áreas das fitas também têm que ser iguais.

Passo 2

Então vamos lá! A velocidade angular é:

ω f = v R f

Essa velocidade pode ser calculada em função do comprimento da fita e do tempo que demorou pra ela rodar, ou seja:

v = L t

Daí,

ω f = L t R F

Passo 3

Agora vamos olhar para aquela brincadeira das áreas:

A área de fita no começo é igual a π ( R 2 - r 2 ) , e no final ela vai ser 2 × π ( R f 2 - r 2 ) . Esse fator 2 aparece porque são dois carretéis.

π R 2 - r 2 = 2 × π ( R f 2 - r 2 )

R 2 - r 2 = 2 R f 2 - 2 r 2

R f 2 = R 2 + r 2 2

R f = R 2 + r 2 2

Juntando com a outra equação:

ω f = L t R 2 + r 2 2 → ω f = L t 2 R 2 + r 2

Passo 4

Agora é só substituir os valores numéricos, sem esquecer de ajeitar as unidades, como hora para segundo e milímetro para metro.

ω f = 246 m 2 × 3600 s 2 0.045 2 + 0.012 2

ω f = 1.04 r a d s

Ou, em revoluções por minuto:

ω f = 1.04 r a d s × 1   r e v 2 π   r a d × 60 s m i n = 9.9 r e v m i n  

Resposta

ω f = 1.04 r a d s = 9.9 r e v m i n  

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