Enunciado

Um flutuador tem a forma de um cilindro reto,com 0,5   m de altura e 4,0   m ² de área das bases; sua massa específica é 0,4 vezes a massa específica da água doce. Inicialmente o flutuador é mantido totalmente imerso em água doce, com a face superior na superfície da água. Em seguida é liberado e sobe gradualmente até começar a flutuar. Qual é o trabalho realizado  pelo empuxo sobre o flutuador durante a subida?

Passo 1

Fala galerinha bonita, tudo beleza?

Nesse exercício aqui, queremos calcular o trabalho realizado pelo empuxo. Então vamos lembrar que o trabalho de uma força é dado como:

W = ∫ y 0 y f F d y

Onde y representa o deslocamento exercido pela força.

Como queremos do empuxo:

W E = ∫ y 0 y f E d y

E, lembrando que E = V s u b m e r s o ∙ ρ f l u i d o ∙ g :

W E = ∫ y 0 y f V s u b m e r s o ∙ ρ f l u i d o ∙ g d y

Sabemos tanto o g quanto o ρ f l u i d o , pois o fluido é a água. Então, precisamos saber o V s u b m e r s o .

Como V s u b m e r s o = A b ∙ y , onde y está representando a altura submersa do cilindro, agora:

W E = ∫ y 0 y f A b ∙ y ∙ ρ f l u i d o ∙ g d y

Então, na verdade, precisamos saber o quanto essa altura submersa variou! Vem comigo, então!

Passo 2

Primeiramente, vamos analisar o que acontece com o Empuxo durante o processo de subida do flutuador. Inicialmente, temos o flutuador completamente submerso, estando com sua face superior na superfície da água. Com isso, temos duas forças agindo sobre ele: empuxo ( E → ) e peso ( P → ).

O flutuador vai subir até o empuxo e a força peso estarem em equilíbrio, dessa forma, elas se anulam e o objeto fica apenas boiando na água. Então, no fim do dia, teremos uma situação mais ou menos assim:

Show? Então, repare que, conforme o flutuador sobe, ele fica cada vez menos submerso, certo?? Ou seja, seu volume submerso vai diminuindo! E isso tem uma importante relação com o empuxo sobre o flutuador. Isso porque o empuxo pode ser calculado por:

E = V s u b m e r s o ∙ ρ f l u i d o ∙ g

Então, como o V s u b m e r s o diminui conforme o flutuador sobe, o empuxo também vai diminuindo gradualmente, já que eles são diretamente proporcionais. E isso acontece até o empuxo se igualar ao peso do cilindro, como vemos na segunda imagem. Ou seja, o flutuador sobe até que:

P = E

m ∙ g = V s u b m e r s o ∙ ρ f l u i d o ∙ g

Cortando g :

m = V s u b m e r s o ∙ ρ f l u i d o

Em que m é a massa do flutuador cilíndrico.

Passo 3

Iradoso, agora como a densidade é dada por:

ρ = m V

Então isolando m :

m = ρ ∙ V

Mas agora, vamos usar a massa do flutuador, o volume do flutuador e a massa específica também, ok? Então:

m = ρ c i l i n d r o ∙ V c i l i n d r o

A expressão para a massa do passo anterior fica assim, tínhamos:

m = V s u b m e r s o ∙ ρ f l u i d o

Substituindo m que acabamos de encontrar:

ρ c i l i n d r o ∙ V c i l i n d r o = V s u b m e r s o ∙ ρ f l u i d o

Então, sendo A b a área da base do flutuador, h sua altura total e h s u b m e r s a a altura da parte submersa do flutuador, temos que:

V c i l i n d r o = A b ∙ h

E

V s u b m e r s o = A b ∙ h s u b m e r s a

Então, a expressão acima pode ser escrita assim:

ρ c i l i n d r o ∙ A ∙ h = ( A ∙ h s u b m e r s a ) ∙ ρ f l u i d o

Podemos cortar A :

ρ c i l i n d r o ∙ h = h s u b m e r s a ∙ ρ f l u i d o

Dessa forma, achamos uma expressão para h s u b m e r s a :

h s u b m e r s a = ρ c i l i n d r o ∙ h ρ f l u i d o

Passo 4

Show! Com essa expressão:

h s u b m e r s a = ρ c i l i n d r o ∙ h ρ f l u i d o

Lembrando que o enunciado nos diz ρ c i l i n d r o = 0,4 ρ f l u i d o . Podemos substituir os valores fornecidos no enunciado, e teremos:

h s u b m e r s a = 0,4 ρ f l u i d o ρ f l u i d o ∙ h

h s u b m e r s a = 0,4 ∙ h

Como o flutuador tem 0,5   m de altura:

h s u b m e r s a = 0,4 × 0,5   m

h s u b m e r s a = 0,2   m

Passo 5

Agora, podemos calcular o trabalho efetuado pela força de empuxo E . Como vimos láaa no primeiro passo:

W E = ∫ y 0 y f A b ∙ y ∙ ρ f l u i d o ∙ g d y

Onde y é a altura submersa do cilindro.

Como a altura submersa saiu de 0,5   m , quando o cilindro inteiro estava dentro da água, para 0,2   m , quando o cilindro estava em equilíbrio:

W E = ∫ 0,5 0,2 A b ∙ y ∙ ρ f l u i d o ∙ g d y

Como A b = 4   m 2 , ρ f l u i d o = 1000   kg/ m 3 e g = 9,8   m/ s 2 :

W E = ∫ 0,5 0,2 4 ∙ 1000 ∙ 9,8 ∙ y d y

Podemos tirar o resultado dessa multiplicação da integral, por ser constante:

W E = 3,92 × 10 4 ∙ ∫ 0,5 0,2 y d y

Resolvendo a integral acima, vamos obter:

W E = 3,92 × 10 4 ∙ y 2 2 0,5 0,2

W E = 3,92 × 10 4 ∙ 0,2 2 - 0,5 2 2

W E = - 4 , 11   kJ

Calma, esse sinal negativo só apareceu por causa do nosso referencial, eu coloquei que a profundidade aumenta para baixo e o empuxo aponta para cima! Isso não diz muita coisa nesse exercício. Como o problema só quer o valor do trabalho realizado, podemos pegar o módulo desse trabalho, sendo assim:

W E = 4 , 11   kJ

Resposta

W E = 4,11   kJ

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