Enunciado

A figura mostra uma parede feita de três camadas de espessuras L 1 , L 2 = 0,700 L 1 e L 3 = 0,350 L 1 . As condutividades térmicas são k 1 , k 2 = 0,900 k 1 e k 3 = 0,800 k 1 . As temperaturas do lado esquerdo e do lado direito da parede são T Q = 30,0 ° C e T F = - 15,0 ° , respectivamente. O sistema está no regime estacionário. (a) Qual é a diferença de temperatura ∆ T 2 na camada 2 (entre o lado esquerdo e o lado direito da camada)? Se o valor de k 2 fosse 1,1 k 1 , (b) a taxa de condução de energia através da parede seria maior, menor ou igual à anterior e (c) qual seria o valor de ∆ T 2 ?

Passo 1

Ok, a chave do problema está naquela expressão ali “regime estacionário”: isso quer dizer basicamente que a temperatura em cada ponto do sistema se mantém constante, apesar de haver transferência de calor!

Isso quer dizer o seguinte: a taxa de condução de calor é a mesma em todas as camadas! Talvez isso seja meio chato de entender, mas pensa assim: já que a temperatura tem que se manter constante em cada ponto, o calor não pode acumular em lugar nenhum, ou seja, tem que sair na mesma medida em que entra!

Então beleza, agora você tem que lembrar de uma fórmula que foi demonstrada no livro: da taxa de condução de calor em uma placa:

P = k A Δ T L

E se for um sistema de várias camadas:

P = ∑ k A Δ T ∑ L

Que pode ser escrito como:

P = A Δ T ( ∑ L / k )

Onde k é a condutividade térmica do material, o A é a área de contato da placa, e o Δ T é a diferença de temperatura entre as duas extremidades!

Ok, vamos em frente!

Passo 2

(a) Então tá, como dissemos que as taxas de condução de calor de todas as placas são iguais, podemos afirmar o seguinte:

P 2 = P T o t a l

Tudo bem? Quer dizer que a transferência de calor na camada 2 é igual à transferência no sistema todo. Pois todo o calor que entrou na primeira parede saiu na última parede. Portanto, na parede 2, teve que entrar e sair essa mesma quantidade de calor.

Substituindo a nossa fórmula (sabendo que as áreas de contato são todas iguais):

P 2 = k 2 A Δ T 2 L 2

P t o t a l = A Δ T T o t a l L 1 k 1 + L 2 k 2 + L 3 k 3

Logo:

k 2 A Δ T 2 L 2 = A Δ T T o t a l L 1 k 1 + L 2 k 2 + L 3 k 3

Cortando o A :

k 2 Δ T 2 L 2 = Δ T T o t a l L 1 k 1 + L 2 k 2 + L 3 k 3

Substituindo os valores que o enunciado nos deu:

( 0,900 k 1 ) Δ T 2 0,700 L 1 = ( 30 - - 15 ) L 1 k 1 + 0,700 L 1 0,900 k 1 + 0,350 L 1 0,800 k 1

Arrumando um pouquinho:

k 1 L 1 ∙ 0,900 Δ T 2 0,700 = 30 - - 15 L 1 k 1 1 + 0,700 0,900 + 0,350 0,800

Então:

k 1 L 1 ∙ 0,900 Δ T 2 0,700 = k 1 L 1 ∙ 30 - - 15 1 + 0,700 0,900 + 0,350 0,800

Agora a gente pode cortar k 1 e L 1 dos dois lados:

( 0,900 ) Δ T 2 0,700 = 45 1 + 0,700 0,900 + 0,350 0,800

E simplificando as frações:

9 7 Δ T 2 = 45 1 + 7 9 + 35 80

Resolvendo o lado direito:

9 7 Δ T 2 = 20,31

E então:

Δ T 2 ≅ 15,8 ° C

Passo 3

(b) Bom, “taxa de condução de energia” nesse caso é a mesma coisa que “taxa de condução de calor”, que é aquele P t o t a l que a gente usou ali em cima. Pegando aquela mesma equação:

P T o t a l = P 2

P T o t a l = k 2 A Δ T 2 L 2

Se antes o k 2 = 0,9 k 1 e passou a ser k 2 = 1,1 k 1 , k 2 aumentou.

Como a taxa é proporcional ao k 2 , então se ele aumenta (como o enunciado diz), o P t o t a l também aumenta!

Passo 4

(c) Já que é pra calcular a mesma coisa da letra (a), só que com outro valor de k 2 , vamos aproveitar um dos últimos passos da letra (a), trocando o valor de k 2 . Não deve ser muito complicado, só o k 2 que muda mesmo. Vamos partir daqui:

( 1,1 k 1 ) Δ T 2 0,700 L 1 = ( 30 - - 15 ) L 1 k 1 + 0,700 L 1 1,1 k 1 + 0,350 L 1 0,800 k 1

Logo, vamos obter que

( 1,1 ) Δ T 2 0,700 = 45 1 + 0,700 1,1 + 0,350 0,800

11 7 Δ T 2 = 45 1 + 7 11 + ( 35 80 )

11 7 Δ T 2 = 21,6986

Portanto:

Δ T 2 = 13,8 ° C

Pronto!

Resposta

(a) Δ T 2 = 15,8 ° C

(b) Seria maior.

(c) Δ T 2 = 13,8 ° C

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