Enunciado

Um flutuador tem a forma de um cilindro reto,com 0,5   m de altura e 4,0   m ² de área das bases; sua massa específica é 0,4 vezes a massa específica da água doce. Inicialmente o flutuador é mantido totalmente imerso em água doce, com a face superior na superfície da água. Em seguida é liberado e sobe gradualmente até começar a flutuar. Qual é o trabalho realizado  pelo empuxo sobre o flutuador durante a subida?

Passo 1

Primeiramente, vamos analisar o que acontece com o Empuxo durante o processo de subida do flutuador. Para isso, é importante lembrar que:

E m p u x o = V s u b m e r s o × ρ f l u i d o × g

Note que ao longo do processo de subida o volume submerso V s u b m e r s o decresce. Com ele, o Empuxo também decresce gradualmente até se igualar ao peso do cilindro, o que ocorre quando

m × g = V s u b m e r s o × ρ f l u i d o × g

Objetos que estão flutuando, podemos dizer que seu peso é igual ao empuxo!

Consequentemente:

m = V s u b m e r s o × ρ f l u i d o

em que m é a massa do flutuador cilíndrico.

Passo 2

Lembrando que m a s s a = m = d e n s i d a d e × v o l u m e = ρ × V , a expressão acima fica assim (sendo V o volume total do flutuador):

m = ρ c o r p o × V = V s u b m e r s o × ρ f l u i d o

Então, sendo A a área da base do flutuador , h sua altura total e y a altura da parte submersa do flutuador, temos que V = A × h e V s u b m e r s o = ( A × h s u b m e r s a ) . Então, a expressão acima pode ser escrita assim:

ρ c o r p o × A × h = ( A × h s u b m e r s a ) × ρ f l u i d o

Passo 3

Na expressão acima, podemos calcular a parte da altura do flutuador, h s u b m e r s a , que está submersa no fluido. Isolando h s u b m e r s a na expressão do passo anterior, temos:

ρ c o r p o / ρ f l u i d o × h = h s u b m e r s a

Substituindo os valores fornecidos no enunciado, temos:

h s u b m e r s a = 0,4 ρ f l u i d o ρ f l u i d o × h = 0,4 × h = 0,4 × 0,5   m = 0,2   m

Passo 4

Agora, podemos calcular o trabalho efetuado pela força de empuxo E , lembrando que T r a b a l h o = F o r ç a × d e s l o c a m e n t o , quando a F o r ç a   é constante. Nesse caso, o empuxo não é constante. Então, como faremos?

Nesse caso, podemos realizar uma análise infinitesimal novamente: em uma pequena altura de comprimento d y , o trabalho realizado pelo Empuxo é igual a

d W = E ( y ) × d y

Lembrando que, para uma altura y o Empuxo é dado por E y = A × y g × ρ f l u i d o

Podemos somar esses trabalhos infinitesimais d W por meio da integral:

W = ∫ 0,5 0 , 2 A × y g × ρ f l u i d o d y

Perceba que essa integral vai de y = 0,5 até y = 0,2 que é a quantidade de volume submerso, inicialmente ele está todo submerso y = 0,5 m e no fim ele está flutuando com y = 0,2 m submerso.

Aqui vamos usar o fato que a massa específica da água doce é

ρ f l u i d o = ρ á g u a d o c e = 10 3 k g / m 3

E também vou utilizar a seguinte aproximação para facilitar os cálculos

g = 10 m / s 2

Assim, teremos:

W = ∫ 0 , 5 0 , 2 4 × y × 10 × 10 3 × d y

Portanto:

W = 4 × 10 4 ∫ 0,5 0,2 y d y

Lembrando que ∫ y n d y = y n + 1 n + 1

Passo 5

Desenvolvendo a integral acima, temos:

W = 4 × 10 4 × y 2 2 0,2 0,5

W = 4 × 10 4 0,5 2 - 0,2 2 2 = 4,2   k J

Resposta

4,2   k J

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