Enunciado

Um foguete de 7.500   k g é lançado verticalmente da plataforma com uma aceleração constante no sentido de baixo para cima de 2,25   m / s 2 e não sente nenhuma resistência significativa do ar. Ao atingir uma altura de 525   m ,seus motores falham repentinamente, de modo que a única força atuando sobre ele nesse momento é a gravidade.

a) Qual é a altura máxima que esse foguete atingirá a partir da plataforma delançamento?

b) A partir da falha no motor, quanto tempo decorrerá antes que o foguete caia sobre a plataforma de lançamento e qual será sua velocidade instantes antes da queda?

c) Faça gráficos a y t , v y t e ytdo movimento do foguete, do instante do lançamento até o instante da queda.

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Temos um foguete saindo da plataforma com uma aceleração de 2,25   m / s 2 até a altura de 525   m quando o motor para!

Sabendo disso a primeira coisa que a gente deve responder é a altura máxima que esse foguete atingirá a partir da plataforma delançamento!

Vamos analisar o problema, o foguete parte do repouso, com v 0 = 0 . Ele fará uma trajetória estritamente vertical e orientada para cima.

Inicialmente, precisamos saber a velocidade descrita pelo foguete no instante em que seus motores param. Como ainda não temos nenhum valor de tempo, a equação de Torricelli é suficiente. Assim:

v 2 = v 0 2 + 2 a ⋅ ∆ S

v 2 = 0 2 + 2 ⋅ 2,25 ⋅ 525

v = 2.362,5

v = 48,61   m / s

Passo 2

  1. Tendo a velocidade no instante em que o motor cessa, será possível calcular a altura máxima atingida.
  2. A altura máxima consiste dos 525m alcançados com o motor ligados mais a distância que o foguete continua a percorrer mesmo com os motores parados.

    Novamente, por Torricelli:

    0 2 = 48,61 2 - 2 ⋅ 9,8 ⋅ ∆ S

    0 = 2,36,96 - 19,6 ⋅ ∆ S

    ∆ S = 120,56 m

    Então temos que o foguete percorreu por 525 m com os motores ligados e aproximadamente 120,56 m com os motores desligados.

    h m a x = 525 m + 120,56

    h m a x = 645,56 m

    Passo 3

  3. O tempo total gasto pelo foguete para retornar ao solo após a falha dos motores consiste na soma do tempo de subida depois do pane mais o tempo de queda após alcançar a altura máxima.
  4. Primeiro, vamos calcular o tempo de subida após a falha:

    v = v 0 + a ⋅ t

    0 = 48,61 - 9,8 ⋅ t

    t = 4,96 s

    Agora vamos calcular o tempo para sua queda:

    S = S 0 + v 0 ⋅ t + a ⋅ t 2 2

    645,56 = 0 + 0 + 9,8 ⋅ t 2 2

    t 2 = 645,56 4,9

    t = 131,75

    t = 11,48 s

    Logo,

    t t o t a l = 4,96 s + 11,48 s

    t t o t a l = 16,44 s

    Além disso, podemos encontrar a velocidade no instante imediatamente anterior a queda através da relação:

    v = v 0 + a t

    Nós partiremos do momento em que o foquete atinge a sua altura máxima ,ou seja, a velocidade inicial vale 0 e a queda se inicia:

    v = 0 + 9,8 * t q u e d a

    Como já calculamos o tempo de queda, basta substituir:

    v = 9,8 * 11,48 = 112,5   m / s

    Passo 4

  5. Primeiro, precisamos encntrar o tempo de decolagem até a falha do motor:

Temos os seguintes dados: S = 525 m v 0 = 0 a = 2,25 m / s 2

Então vamos utilizar a equação:

S = v 0 ⋅ t + a ⋅ t 2 2

⇒     525 m = 0 + 2,25 m / s 2 ⋅ t 2 2

Isolando   t :

t = 2 ( 525 m ) 2,25 m / s 2

t = 21,6 s

O momento que o foguete atinge a plataforma de lançamento se da pelo tempo a partir da falha do motor mais o insntante do lançamento até a queda:

16,44 s + 21,6 s = 38 s

Passo 3

O gráfico a y t é uma linha reta com inclinação positiva de 2,25   m / s 2 durante a fase de decolagem e com negativainclinação de - 9,80   m / s 2 após falha do motor:

O sinal da aceleração determina a curvatura de y   ( t ) .Em t = 38.0 s o foguete retornou para y   =   0 :

Temos uma velocidade positiva contante até o instante t = 21,6 s e depois o foguete começa a cair.

Resposta

  1. h m a x = 645,56 m
  2. t t o t a l = 16,44 s
  3. 38 s

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