Enunciado

Foi aventado que as usinas hidrelétricas devem aproveitar as horas fora do pico (como tarde da noite) para gerar energia mecânica e armazená-la para atender à demanda em horários de pico, como no meio do dia. Uma sugestão é armazenar a energia em grandes volantes que giram sobre mancais praticamente livres de atrito. Considere um volante feito de ferro (densidade 7800   k g / m 3 ) no formato de um disco delgado e uniforme de 10,0   c m . a) Qual deve ser o diâmetro desse disco para armazenar 10,0   m e g a j o u l e s de energia cinética ao girar a 90,0   r p m em torno de um eixo perpendicular ao disco, no seu centro? b) Qual será a aceleração centrípeta de um ponto na borda, quando o disco gira nessa taxa?

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom?

A gente quer achar o diâmetro de um disco para que ele armazene uma energia cinética de K = 10   M J ao girar na velocidade angular de ω = 90,0   r p m .

Para conseguir calcular esse diâmetro vamos lembrar da fórmula da energia cinética:

K = 1 2 I ω 2

A partir do momento de inércia conseguimos calcular o diâmetro por:

I = 1 2 m R 2

Bora lá!

Passo 2

  1. O problema já nos deu a energia cinética.

K = 10   M J = 10 10 6 J

Já temos também a velocidade angular, a gente só precisa coloca-lá na unidade correta para usar. Vamos passar essa bonita de r p m para r a d / s . Como a gente faz? Multiplicando o que temos por 2 π / 60 :

ω = 90 r p m = 90 2 π 60   r a d / s = 9,425 r a d / s

Sobra só o momento de inércia, então vamos isolar esse cara e achar o valor dele

I = 2 K ω 2 = 2 ⋅ 10 × 10 6 J ( 9,425 r a d / s ) 2 = 2,252 × 10 5 k g ⋅ m 2

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos analisar esse momento de inércia. Para um disco com o eixo no centro, temos que a inercia é:

I = 1 2 m R 2

Olha ali, apareceu quem a gente quer achar, o raio R !

Podemos achar essa massa usando a densidade que ele deu. O volume do disco será dado por:

V = x π R 2

onde x = 0,100 m é a espessura do volante e R é o raio.

V = 0,1 π R 2

E ρ é a densidade do ferro:

ρ = 7800   k g / m 3

Então a massa fica

ρ = m V → m = ρ V

m = 7800 0,1 π R 2

Show?

Passo 4

Lembrando que temos que:

I = 1 2 m R 2

I = 1 2 7800 0,1 π R 2 R 2

Vamos isolar quem a gente quer, o raio R . Isso implica que:

R = 2 × I 7800 0,1 π 4

Substitundo o momento de inércia que a gente achou

R = 2 × 2,252 × 10 5 7800 0,1 π 4 = 3,68 m

Sendo o diâmetro, o dobro do raio:

D = 2 R = 2 ⋅ 3,68 m = 7,36 m

Estamos quase lá!

Passo 5

b) E para calcularmos a a aceleração centrípeta, temos que:

a c e n t r = R ω 2

a c e n t r = 3,68 m ⋅ 9,425 r a d s 2

a c e n t r = 327 m / s 2

E aí! O que achou? Responde Aí!

Resposta

  1. D = 7,36 m
  2. a c e n t r = 327 m / s 2
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