Enunciado

Uma fonte F e um detector D de ondas de rádio estão a uma distância d em um terreno plano (veja a figura). Ondas de rádio de comprimento de onda λ chegam ao detector D de duas formas: diretamente e depois de serem refletidas em certa camada da atmosfera que sobre gradualmente. Quando a camada está a uma altura H , as ondas chegam em fase ao detector D ; quando a camada atinge a altura H + h , as ondas têm fases opostas. Expresse λ em termos de d , h e H .

Passo 1

Fala galerinha bonita, tudo beleza? Vamos entender o princípio que está sendo discutido aqui.

Como as ondas percorrem distâncias diferentes dependendo do caminho tomado (direto ou indireto), quando chegarem em D , elas podem ter fases diferentes, como nesse caso:

Mas o que o enunciado diz é que, quando elas tomam o caminho definido pela altura H , elas chegam exatamente em fase (uma onda em cima da outra):

E quando tomam o caminho definido por H + h , elas chegam em fases opostas:

Passo 2

Ok, já entendemos o que está acontecendo, agora vamos escrever isso matematicamente.

Quando as ondas estão em fase, isso quer dizer que a diferença de caminho entre elas é algum múltiplo de um comprimento de onda inteiro:

Δ x H = n   λ

E quando estão em fases opostas, a diferença de caminho entre elas é algum múltiplo de meio comprimento de onda:

Δ x H + h = n + 1 2 λ

Vamos procurar expressões para cada uma das diferenças de caminho.

Passo 3

Começando pela diferença entre o caminho direto (de comprimento d ) e o caminho definido pela altura H :

Δ x H = 2 d 2 2 + H 2 - d

Δ x H = d 2 + 4 H 2 - d

Onde nós usamos o teorema de pitágoras para calcular a distância do caminho indireto (dê uma olhada no desenho para entender isso melhor).

E podemos fazer a mesma coisa para a outra diferença de caminho:

Δ x H + h = 2 d 2 2 + ( H + h ) 2 - d

Δ x H + h = 4 H + h 2 + d 2 - d

Então ficamos com duas equações:

d 2 + 4 H 2 - d = n   λ 4 H + h 2 + d 2 - d = n + 1 2 λ

Se fizermos a segunda equação menos a primeira, vamos chegar no seguinte:

4 H + h 2 + d 2 - d 2 + 4 H 2 = n + 1 2 λ - n   λ

4 H + h 2 + d 2 - d 2 + 4 H 2 = λ 2

Nosso objetivo é escrever λ em função de H , h e d , então agora é só isolar:

λ = 2 4 H + h 2 + d 2 - d 2 + 4 H 2

Resposta

O comprimento de onda é λ = 2 4 H + h 2 + d 2 - d 2 + 4 H 2 .

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