Enunciado

32. Uma força é dada por F x = A x - 3 , onde A = 8,0   N ∙ m ³ .

(a) Para valores positivos de x , a energia potencial associada a essa força aumenta ou diminui com o aumento de x ? (Você pode encotrar a resposta para esta questão imaginando o que acontece com uma partícula que é colocada em repouso em algum ponto x   e depois largada.) (b) Encontre a função de energia potencial U   associada a essa força de modo que U tende a zero e x tende ao infinito.

(c) Esboçe U versus x .

Passo 1

(a)

Já tá até ficando chato resolver esse tipo de questão, de tão repetitivo que tá, mas vamos lá!

A força, F x , é definida como o negativo da derivada da função de energia potencial em relação a x , ou seja, F x = - d U / d x . Consequentemente, como queremos trabalhar com a energia potencial associada, basta integral F x em relação a x , para encontrar U .

U x = - ∫ F x   d x

Ou seja:

U x = - ∫ A x - 3 d x

U x = - A x - 3 + 1 - 3 + 1 + U 0

A integral indefinida já deu direto a energia inicial U 0 , que nada mais é do que a constante de integração.

U x = 1 2 A   x 2 + U 0

U x e x , pela fórmula acima, são inversamente proporcionais. Logo, a medida que x aumenta,   U diminui.

Passo 2

(b) Na letra (a) obtivemos a seguinte fórmula para a energia potencial:

U x = 1 2 A   x 2 + U 0

Agora vamos analisar com um pouco mais de cuidado essa fórmula.

Temos que x ² está no denominador da expressão acima. Logo, podemos estabelecer a seguinte relação, se x tender ao infinito:

Uma vez que x → ∞ , então 1 2 A   x 2 → 0 . Ou seja conforme x vai pro infinito, 1 2 A   x 2 vai pra zero.

A questão também diz que U deve tender apenas para zero. Logo, nosso amiguinho U 0 também vai ser zero, de modo que resta a expressão final correspondente:

U x = 1 2 A   x 2

U x = 1 2 ( 8,0   N ∙ m 3 )   x 2

U x = 4.0   x 2   N ∙ m

Passo 3

(c) Bom! Só nos resta então traçar o gráfico para a função abaixo:

U x = 4.0   x 2   N ∙ m

Acho que todo mundo já tá careca de saber como ficará esse gráfico. Isso mesmo! Ele tem um formato de hipérbole. Mas atenção, que só queremos os valores positivos de x .

Ta aí!

Resposta

a) A energia potencial diminui

b) U x = 4.0   x 2   N ∙ m  

c) Resolução Gráfica

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