Enunciado

30. A força resultante que atua sobre um corpo restringido ao eixo x , é dada por F x x = x 3 - 4 x . (A força está em newtons e x   em metros.) Localize as posições de equilíbrio instável e estável. Mostre que cada posição é estável ou instável, calculando a força de um milímetro em cada lado das posições.

Passo 1

As posições de equilíbrio são aqueles valores de   x para os quais F x = 0 . Se as posições de equilíbrio são estáveis ​​ou instáveis, ​​depende dos sinais da força em ambos os lados da posição de equilíbrio. Basicamente, o objetivo vai ser encontrar os valores referentes às posições de equilíbrio e com estas posições, substituir o antecessor e o sucessor em um milímetro na equação que descreve a força. Se os sinais obtidos forem os mesmos, então o equilíbrio é instável. Mas se os sinais forem diferentes, o equilíbrio será estável !

Passo 2

Começa-se então, igualando a força F x x a zero, a fim de encontrar as posições de equilíbrio:

F x x = x 3 - 4 x = 0

x 3 - 4 x = 0

x ( x 2 - 4 ) = 0

x x + 2 ( x - 2 ) = 0

x = 0

x + 2 = 0

x = - 2 m

x - 2 = 0

x = 2 m

x = - 200 m m ,   0   e   200 m m

Passo 3

c) Observando que precisamos apenas determinar se cada valor de F x x é positivo ou negativo, avalia-se F x x nas seguintes posições: em x = - 201 m m e x = - 199 m m   para determinar o equilíbrio em x = - 200 m m … e em seguida repete-se esses cálculos em x = - 1 m m , x = 1 m m

e   x = 199 m m ,   x = 201 m m para determinar a estabilidade em 0 e 200 m m , respectivamente:

Para x = - 200 m m

F x x = x 3 - 4 x

F x - 0,201 m = ( - 0,201 ) 3 - 4 ( - 0,201 )  

F x - 0,201 m ≅ 0,796 N

F x x = x 3 - 4 x

F x - 0,199 m = ( - 0,199 ) 3 - 4 ( - 0,199 )  

F x - 0,199 m ≅ 0,788 N

Para x = 0 m m

F x x = x 3 - 4 x

F x - 0,001 m = ( - 0,001 ) 3 - 4 ( - 0,001 )  

F x - 0,001 m ≅ 0,004 N

F x x = x 3 - 4 x

F x 0,001 m = ( 0,001 ) 3 - 4 ( 0,001 )  

F x 0,001 m ≅ - 0,004 N

Para x = 200 m m

F x x = x 3 - 4 x

F x 0,201 m = ( 0,201 ) 3 - 4 ( 0,201 )  

F x 0,201 m ≅ - 0,796 N

F x x = x 3 - 4 x

F x 0,199 m = ( 0,199 ) 3 - 4 ( 0,199 )  

F x - 0,199 m ≅ - 0,788 N

Resposta

F o r ç a s   e m   c a d a   p o s i ç ã o :

F x - 0,201 m ≅ 0,796 N

F x - 0,199 m ≅ 0,788 N

F x - 0,001 m ≅ 0,004 N

F x 0,001 m ≅ - 0,004 N

F x 0,201 m ≅ - 0,796 N

F x - 0,199 m ≅ - 0,788 N

N a s   p o s i ç õ e s   x = - 200 m m   e   x = 200 m m ,   o   e q u i l í b r i o   é   i n s t á v e l .     J á   n a   p o s i ç ã o   x = 0 ,   o   e q u i l í b r i o   é   e s t á v e l .

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