Enunciado

Uma função energia potencial geralmente usada para desrever a interação entre duas moléculas (Figura 18.8) é o potencial de Lennard- Jones com expoentes 6 e 12,

U r = U 0 R 0 r 12 - 2 R 0 r 6

Onde r é a distancia entre os centros das moléculas U 0 e R 0 são constantes positivas. A força correspondente F ( r ) é dada pela equação 13.26. a) Faça gráficos de U r e F r por r . b) Seja r 1 o valor de r para qual U r = 0 , e r 2 o valor de r para o qual F r = 0 . Localize os pontos r 1 e r 2 nos seus gráficos. Qual desses valores representa a posição de equilíbrio entre as moléculas? c) calcule os valores de r 1 e r 2 em termos de R 0 e obtenha a razão r 1 / r 2 . d) Se a distancia entre as moléculas for igual a r 2   (calculada no item (c)), qual seria o trabalho realizado para separá-las até uma distancia r → ∞ ?

Passo 1

A força correspondente a F ( r ) é dada pela equação 13.26:

F r = 12   U 0 R 0 R 0 r 13 - R 0 r 7

Para chegar neste resultado é preciso integrar a energia potencial dada no enunciado do exercício.

Passo 2

a) Agora que obtemos a equação de U r e de F r , podemos plotar o gráfico delas.

O gráfico de U r é:

O gráfico de F r é:

Passo 3

b) Supondo que r 1 seja o valor onde U r = 0 , desta forma teremos que r 2 é o ponto onde F r = 0 , ou seja, é onde a energia potencial é mínima.

Portanto a partículo estará em r 2 pois lá é onde se encontra o estado de menor energia.

Passo 4

c) Para resolver esse item vamos utilizar dois resultado que já conhecemos, que é o caso onde U r = 0 e F r = 0 .

A equação da energia potêncial é:

U r = U 0 R 0 r 12 - 2 R 0 r 6

Se U r = 0 isso implica que:

R 0 r 12 - 2 R 0 r 6 = 0

Desta froma temos que r 1 é:

r 1 = R 0 2 1 / 6

Pela equação da força, se F r = 0 , isso implica que:

R 0 r 13 - R 0 r 7 = 0

Desta forma temos que r 2 é:

r 2 = R 0

Portanto a razão r 1 / r 2 vale:

r 1 r 2 = R 0 2 1 / 6 R 0 = 2 - 1 / 6

Passo 5

d) O trabalho é igual a variação da energia potêncial, ou seja:

W = ∆ U

Se fizermos r tendendo ao infinito temos que:

U ∞ = 0

Portanto o trabalho é:

W =   U ∞ - U R 0 = - U R 0

W = - U 0 R 0 R 0 12 - 2 R 0 R 0 6 = - U 0 1 - 2

W = + U 0

Resposta

b) A partícula está em r 2

c)   r 1 r 2 = R 0 2 1 / 6 R 0 = 2 - 1 / 6

d)   W = + U 0

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