Enunciado

A função de onda para o átomo de hidrogênio no estado 2 s é dada por

ψ 2 s r = 1 32 π a 3 2 - r a e - r 2 a

a) Mostre que essa função de onda é normalizada. b) no modelo de Bohr, a distância entre o elétron e o núcleo no estado 2s é exatamente igual a 4 a . Calcule a probabilidade de que um elétron no estado 2 s seja encontrado a uma distância em relação ao núcleo menor que 4 a .

Passo 1

a) Para mostrarmos que a função de onda é normalizada, fazemos o produto interno entre ela e seu complexo conjugado, e integramos no espaço todo. Como a função de onda dada não envolve parte complexa, seu complexo conjugado é igual a ela mesma, assim:

I = ∫ - ∞ ∞ ψ 2 s r 2 d V

Em coordenadas esféricas, d V pode ser escrito como:

d V = 4 π r 2 d r

E o limite inferior da integral passa a ser zero:

I = ∫ 0 ∞ ψ r 2 4 π r 2 d r

Substituindo a função de onda:

I = ∫ 0 ∞ 1 32 π a 3 2 - r a e r a   4 π r 2 d r

Colocando as constantes pra fora:

I = 1 8 a 3 ∫ 0 ∞ 2 - r a e r a   r 2 d r = 1 8 a 3 ∫ 0 ∞ 4 - 4 r 3 a + r 4 a 2 e r a   d r

Passo 2

Usando a seguinte solução geral para integrais:

∫ 0 ∞ x n e - α x d x = n ! α n + 1

Onde α = 1 a no nosso caso.

A solução da integral fica:

I = 1 8 a 3 4 2 ! a 3 - 4 a 3 ! a 4 + 1 a 2 4 ! a 5 = 1 8 8 - 24 + 24 = 1

Como o resultado é 1 isso significa que a nossa função de onda está normalizada.

Passo 3

b) O orbital 2 s é esférico, a probabilidade para r < 4 a é dado por:

P r < 4 a = ∫ 0 4 a ψ r 2 4 π r 2 d r

Substituindo de novo a função de onda:

P r < 4 a = 1 8 a 3 ∫ 0 4 a 4 - 4 r 3 a + r 4 a 2 e r a   d r

Chegamos na mesma integral que antes, mas agora com o limite inferior diferente de infinito

Dividindo em três integrais para cada termo, e usando integração por partes para cada caso, chegamos em:

P r < 4 a = 1 8 a 3 a 3 8 - 24 + 24 + e - 4 - 104 + 568 - 824 = 1 8 ( 8 - 360 e - 4 )

P r < 4 a = 1 - 45 e - 4 = 0,176 = 17,6 %

Resposta

a )   e s t á   n o r m a l i z a d a

b ) P r < 4 a = 17,6 %

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