Enunciado

A função de onda para o estado n = 2 do oscilador harmônico é ψ2 () x = A2 2ax2 - 1 () 2 e-ax 2, onde A2 é a constante de normalização e a é uma constante positiva. Mostre que as funções de onda para os estados n = 1 en = 2 do oscilador harmônico são ortogonais

Passo 1

Para mostrarmos que elas são ortogonais, precisamos mostrar que:

∫ - ∞ + ∞ ψ 1 x ψ 2 x d x = 0

Onde:

ψ 2 x = A 2 2 a x 2 - 1 2 e - a x 2

ψ 1 x = A 1 x e - a x 2

Só que, como ψ 1 ( x ) é uma função ímpar e ψ 2 ( x ) é uma função par, o produto delas será ímpar!

Obs.: para saber que ψ 2 é par, podemos apenas pensar que a função exponencial não é nem par nem ímpar, mas temos termos de x 2 na função. E todos esses termos tornam ψ 2 par, mesmo que multiplicados, pois a multiplicação de duas pares dá uma par!! Continuando coma explicação...

E, como a integral de uma função ímpar com limites simétricos (algo do tipo - a ≤ x ≤ a , onde a pode ser qualquer número) é zero:

∫ - ∞ + ∞ ψ 1 x ψ 2 x d x

Deve ser zero também! Pois se encaixa no que acabamos de falar. Isso já basta para provar!

Resposta

Explicação no passo a passo.

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