Enunciado

Um funny car acelera a partir do repouso, percorrendo uma certa distância no tempo T , com o motor funcionando com potência constante P . Se os mecânicos conseguem aumentar a potência do motor de um pequeno valor d P , qual é a variação do tempo necessário para percorrer a mesma distância?

Passo 1

Essa é uma questão que vamos pincelar os conceitos de trabalho, energia e potência. Inicialmente, devemos lembrar do teorema trabalho-energia cinética que nos diz que a o trabalho total realizado é igual a variação da energia cinética:

W T = ∆ K

Além disso, devemos lembrar da relação da potência com o trabalho:

P = d W d t

Por fim, devemos ter no sangue os conceitos de derivada e integral que serão fundamentais na resolução desta questão. Como eu sei? Olha o enunciado, quando ele envolve um d P , pequenos valores, já tem que vir na mente uma luz voltada para o conceito da derivada, integral... Beleza? Vamos lá!

Passo 2

Vamos iniciar a resolução desse problema escrevendo o trabalho:

W T = ∆ K

Como o carro parte do repouso, então K 0 = 0 e:

W T = m v 2 2

Passo 3

Com a função do trabalho em mãos, vamos usar a equação da potência:

P = d W T d t = d m v 2 2 d t

Como a massa é constante, então vamos derivar apenas a velocidade, porém como nós sabemos que a velocidade é escrita em função do tempo, devemos aplicar a regra da cadeia. Assim:

P = m v d v d t

Isolando o d t :

d t = m v   d v P       e q . 1

Integrando dos dois lados:

∫ 0 T d t = ∫ 0 v T m v P d v

Então:

T = m v T 2 2 P       e q . 2

Passo 4

Agora, como o problema pede para relacionar com o deslocamento, devemos lembrar que:

d r d t = v

Isolando d r :

d r = v d t

E integrando dos dois lados:

∫ 0 L d r = ∫ 0 v T v d t

Como não sabemos a relação de v com o tempo t , então vamos usar a e q . 1 para fugir de d t :

L = ∫ 0 v T m v 2 P d v = m v T 3 3 P       e q . 3

Passo 5

Com a e q . 3 em mãos, devemos achar alguma forma de relacioná-la com a e q . 2 , pois desejamos relacioná-la com o tempo T . De maneira direta, podemos elevar os dois lados ao quadrado, para aparecer na e q . 3 a e q . 2 . Assim:

L 2 = m v T 3 3 P 2 = 8 P 9 m m v T 2 2 P 3

Agora, conseguimos já identificar a e q . 2 na e q . 3 . Assim, combinando-as:

L 2 = 8 P T 3 9 m

Colocando tudo o que for constante de um lado:

9 8 L 2 m = P T 3

Assim, derivando a equação acima, lembrando que como é uma multiplicação no lado direito da igualdade, devemos aplicar a regra do produto, então:

0 = P ' × T 3 + P × 3 T 2 T '

Assim, isolando T ' :

T ' = - T 3 P P '

Ou para ficar mais visual, podemos reescrever a equação acima usando outra notação para a derivada:

d T = - T 3 P d P

Resposta

d T = - T 3 P d P

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