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Dois besouros correm em um deserto plano, partindo do mesmo ponto. O besouro 1 corre 0,50   m para leste e 0,80   m em uma direção 30 ° ao norte do leste. O besouro 2   corre 1,6   m em uma direção 40 ° ao leste do norte e depois corre em outra direção. Quais devem ser (a) o módulo e (b) o sentido da segunda corrida do segundo besouro para que termine na mesma posição final que o primeiro besouro?

Passo 1

Primeiramente, vamos pensar no movimento realizado pelos dos besouros:

O movimento de baixo (em vermelho) é o besouro 1 e o de cima (em amarelo) é o besouro 2.

Com isso, o problema nos pede o vetor do último movimento do besouro 2 para que ele termine no mesmo lugar do besouro 1, estamos chamando esse vetor de D b 2 → .

Para acharmos o valor de D b 2 → , devemos decompor os dois movimentos de cada besouro nas coordenadas x e y e subtrair o movimento do besouro 1 pelo do besouro 2. E, depois, calculamos o módulo do vetor que encontrarmos. Vamos para a diversão!!!

Movimento do besouro 1: B 1 x   : 0,5 + 0,8 . c o s ⁡ ( 30 ° ) B 1 y   : 0,8 . s e n ⁡ ( 30 ° )

Movimento do besouro 2: B 2 x   : 1,6 . s e n ⁡ ( 40 ° ) B 2 y   : 1,6 . c o s ⁡ ( 40 ° )

Passo 2

Agora que temos os valores em cada eixo, vamos subtraí-los. Obtendo que:

D b 2 x = B 1 x - B 2 x

D b 2 x = 0,5 + 0,8 . cos ⁡ 30 ° - 1,6 . sen ⁡ 40 °

D b 2 x = 0,16

E em y :

D b 2 y = B 1 y - B 2 y

D b 2 y = 0,8 . s e n ⁡ ( 30 ° ) - 1,6 . c o s ⁡ ( 40 ° )

D b 2 y = - 0,83

Com isso, já podemos determinar o módulo pedido em (a). O módulo é calculado por:

D b 2 2 = D b 2 x 2 + D b 2 y 2

D b 2 = D b 2 x 2 + D b 2 y 2

Substituindo os valores que achamos para as componentes:

D b 2 = 0,16 2 + - 0,83 2

D b 2 = 0,85 m

Passo 3

(b) Então, qual o sentido da segunda corrida? Queremos saber o ângulo e temos o valor dos lados do triângulo, então, usa-se uma função trigonométrica inversa que tem aí em sua calculadora. Nós temos o seguinte triângulo para o último movimento do besouro 2:

Logo:

Para montar esse triângulo, é só desenhar o vetor D b 2 → e suas componentes, que achamos no passo anterior.

Se tirarmos a tangente do θ :

tan ⁡ θ = - 0,83 0,16

θ = a r c t a n - 0,83 0,16

Ou seja, o θ é o ângulo, cuja tangente é - 0,83 0,16 . Fazendo essa conta, encontramos que:

θ = - 79 °

Esse menos é só indicando que é um ângulo da horizontal para baixo. Com isso, vemos que o sentido do movimento é 79 ° ao sul do leste.

Resposta

  1. 0,85   m (b) 79 ° ao sul do leste

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