Enunciado

Um gafanhoto, pousado na beirada superior de uma folha que está boianda sobre a água de um tanque, salta, com velocidade inicial de 4   m / s , em direção à beirada inferior da folha, no sentido do comprimento. As massas do gafanhoto e da folha são de 1   g e 4   g , respectivamente, e comprimento da folha é de 30   c m . Em que domínio de valores pode estar compreendido o ângulo θ entre a direção do salto e a sua projeção sobre a horizontal para que o gafanhoto volte a cair sobre a folha?

Passo 1

O primeiro passo em problemas assim é fazer um desenho para entender a situação! Acompanhe a figura a seguir:

Coloquei a origem do sistema de coordenadas na posição em que estava a extremidade da folha e o gafanhoto imediatamente antes do pulo. O gafanhoto vai pular com uma velocidade   v → 0 que forma um ângulo θ com a horizontal. Portanto,

v → 0 = v 0   cos ⁡ θ   x ^ + s e n   θ   y ^

Com isso, o momento linear do gafanhoto imediatamente após o pulo é

p → g a f . = m v → 0 = m v 0   cos ⁡ θ   x ^ + s e n   θ   y ^

Mas o conjunto folha + gafanhoto estava inicialmente em repouso. Isso significa que o momento linear do sistema era nulo antes do pulo. Portanto, aplicando a conservação do momento, podemos escrever

p → a n t e s = p → d e p o i s

0 → = p → g a f . + p → f o l h a

Olhando apenas para a direção x :

0 = m v 0 cos ⁡ θ + M v x ⇒ v x = - m M v 0 cos ⁡ θ

Essa é a velocidade de recuo da folha:

Enquanto o gafanhoto se move no ar, a folha se move para trás. Note que a origem do sistema de coordenadas permanece no mesmo lugar.

Passo 2

Vamos calcular agora o tempo que o gafanhoto permanece no ar. Sabemos que ele salta com uma velocidade v g a f .     x = v 0 cos ⁡ θ que será constante na horizontal (MRU) e uma velocidade inicial v g a f ,       0 y = v 0   s e n   θ que não será constante na vertical (MRUV).

Sabemos que no movimento vertical, podemos usar as equações do MRUV. Na subida, temos que:

v y = v 0 y - g t

Quando o gafanhoto atinge a altura máxima, temos que v y = 0 . Assim, o tempo de subida é

t s u b = v 0 y g = v 0   s e n   θ g

O tempo total que o gafanhoto permanece no ar é

t = 2 t s u b = 2   v 0   s e n   θ g

Nesse intervalo de tempo, a distância horizontal percorrida por ele é

D g a f = v g a f .     x   t = v 0 cos ⁡ θ ⋅ 2   v 0   s e n   θ g = v 0 2 ⋅ 2   s e n   θ cos ⁡ θ g

Usando que s e n   2 x = 2   s e n   x cos ⁡ x , temos que

D g a f = v 0 2   s e n   2 θ g

Passo 3

Mas ao mesmo tempo que o gafanhoto se move para frente e percorre uma distância D g a f , a folha anda para trás e percorre uma distância D f o l h a :

Como o tempo para que isso aconteça é t = 2 v 0   s e n   θ / g e a velocidade da folha em módulo é constante e igual a

v x = m M v 0 cos ⁡ θ

A distância percorrida pela folha é

D f o l h a = v x   t = m M v 0 cos ⁡ θ ⋅ 2 v 0   s e n   θ g = m M ⋅ v 0 2   s e n   2 θ g

Olhando a figura, vemos que a condição para que o gafanhoto caia sobre a folha é que

D f o l h a + D g a f < L ,

onde L é o comprimento da folha. Se a soma dessas distâncias for maior que o comprimento da folha, o gafanhoto cairá fora dela! Agora é só usar as expressões que encontramos:

m M ⋅ v 0 2   s e n   2 θ g + v 0 2   s e n   2 θ g < L

Assim,

m M + 1 v 0 2   s e n   2 θ g < L

Logo,

s e n   2 θ < M L g m + M v 0 2

Passo 4

Agora podemos substituir os números: M = 4   g , m = 1   g , g = 9,8   m / s 2 , L = 0,3   m e v 0 = 4   m / s :

s e n   2 θ < 4 ⋅ 0,3 ⋅ 9,8 5 ⋅ 4 2 = 0,147

Temos que descobrir qual ângulo tem seno 0,147 . O ângulo correspondente é 8,45 ° . Agora olhe o desenho a seguir:

Olhando para o círculo trigonométrico, vemos que os intervalos que satisfazem a inequação são:

0 < 2 θ < 8,45 °             o u             171,55 ° < 2 θ < 180 °

Assim,

0 < θ < 4,23 °           o u           85,8 ° < θ < 90 °

Se o ângulo θ não estiver nesses intervalos, o gafanhoto cai fora da folha!

Resposta

0 < θ < 4,23 °           o u           85,8 ° < θ < 90 °

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