Enunciado

Um gás ideal, cujas moléculas têm massa m , está em equilíbrio térmico à temperatura T dentro de uma ultracentrífuga de raio R que gira com velocidade angular ω . (a) Ache a razão ρ ( R ) / ρ ( 0 ) da densidade do gás junto às paredes à densidade no eixo da ultracentrífuga (Sugestão: use o conceito de “potencial centrífugo” discutido na seção 1.4). (b) Calcule o valor numérico desssa razão se o gás é oxigênio , T = 300   K , R = 10   c m e a frequência de rotação é 10 3   r p s .

Passo 1

(a) Vamos seguir a sugestão do enunciado. Voltando lá no capítulo 1 pra rever esse “potencial centrífugo”, a gente chega na seguinte fórmula:

U = - 1 2 m ω 2 r 2 + U 0

A únia diferença em relação à equação que está no livro é que a gente usou a energia em si, e não a densidade de energia, por isso o ρ virou ω .

E também colocamos uma constante U 0 , que é a energia potencial “inicial”.

Essa constante não deveria fazer diferença no resultado final, porque é simplesmente uma escolha de referencial.

Passo 2

Ok, agora que a gente tem uma forma de medir a energia associada a cada distância r em relação ao eixo da centrífuga, a gente pode fazer o seguinte:

F r = A exp ⁡ - E k T

Usar a distribuição de Boltzmann pra calcular a probabilidade de encontrar as moléculas em cada posição!

F r = A exp ⁡ - 1 k T U 0 - 1 2 m ω 2 r 2

Quando estamos colados nas paredes ( r = R ), ficamos com:

F R = exp ⁡ - 1 k T U 0 - 1 2 m ω 2 R 2

E quando estamos no eixo da centrífuga ( r = 0 ):

F 0 = exp ⁡ - 1 k T U 0

Passo 3

Agora pensa o seguinte: a probabilidade de encontrar as partículas em uma certa região é proporcional à densidade do gás naquela região, certo?

Então a gente pode igualar essas duas razões aqui:

ρ R ρ 0 = F R F 0

E agora é só substituir as expressões:

ρ R ρ 0 = exp ⁡ - 1 k T U 0 - 1 2 m ω 2 R 2 exp ⁡ - 1 k T U 0

Vamos separar a exponencial de cima em duas:

ρ R ρ 0 = exp ⁡ - 1 k T U 0 exp ⁡ 1 2 k T m ω 2 R 2 exp ⁡ - 1 k T U 0

ρ R ρ 0 = exp ⁡ m ω 2 R 2 2 k T

Passo 4

(b) Nesse item a gente só precisa substituir alguns valores numéricos:

ρ R ρ 0 = exp ⁡ m ω 2 R 2 2 k T

Já que estamos falando de gás oxigênio ( O 2 ), a massa de cada molécula é:

m = 2 16   u . a . = 32   u . a .

E cada unidade de massa atômica tem 1,66 × 10 - 27   k g :

m = 5,31 × 10 - 26   k g

Como a frequência é de 10 3   r p s , a frequência angular ω é:

ω = 2 π 10 3

E as outras grandezas já foram dadas no enunciado:

ρ R ρ 0 = exp ⁡ 5,31 × 10 - 26 2 π . 10 3 2 0,10 2 2 1,38 × 10 - 23 300

ρ R ρ 0 ≈ 12,6

Resposta

(a) ρ R ρ 0 = exp ⁡ m ω 2 R 2 2 k T .

(b) No caso mencionado a razão é 12,6 .

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