Enunciado

Generalização da fórmula μ → = I A   n ^ . Considere um circuito fechado de forma genérica contido em um plano, transportando uma corrente I . Este circuito pode ser substituído aproximadamente por um conjunto de circuitos retangulares, todos transportando a mesma corrente I , como mostra a Figura 21.13.

a) Mostre que o dipolo magnético do conjunto de circuitos retangulares é o produto da corrente I pela área do polígono que contorna todos eles.

b) Mostre que quando os circuitos retangulares se tornam infinitamente estreitos a área do polígono é igual a área A do circuito curvo.

Passo 1

Fala galera, tudo bem?

Esse é um exercício um pouco mais teórico, então se você quiser pular ele tudo bem...

Para fazer o item (a) vou considerar apenas 2 retângulos pois acho que assim fica um pouco mais simples e a generalização é imediata.

Eu acho que o desenho em si explica melhor do que qualquer coisa que eu possa explicar, mas a ideia é a seguinte: a gente pode pensar no circuito completo (corrente em verde) como sendo dividido em dois retângulos, um com a corrente em vermelho e outro com a corrente em azul. Na lateral que junta os dois retângulos as correntes se anulam, de modo que as duas situações são equivalentes!

Do lado esquerdo, o dipolo magnético de cada espira é

μ 1 = I A 1           e           μ 2 = I A 2

Somando os dois, temos

μ = μ 1 + μ 2 = I A 1 + I A 2 = I A 1 + A 2

Mas sabemos que A = A 1 + A 2 , de modo que

μ = I A

Com isso, achamos o dipolo magnético total do circuito e mostramos o que o item (a) pede no caso de dois retângulos. É só você repetir o raciocínio e ir adicionando retângulos e pronto, você prova para um número qualquer de retângulos!

Passo 2

O item (b) é mais de matemática do que física, né? A ideia por trás dele é a mesma da soma de Riemann quando a gente brinca com integral lá em cálculo 1...

Vou pegar o seguinte problema: queremos saber a área sob o gráfico de uma curva dada por y = f x . A ideia básica é subdividir ao intervalo a ,   b em vários pequenos intervalos Δ x com

Δ x = b - a n ,

onde n é o número de subintervalos. Daí, pegamos um ponto x i dentro de um dos intervalos e construímos um retângulo de base Δ x e altura f x i , cuja área será

Δ A i = f x i   Δ x

Daí, aproximamos a área sob a curva como sendo a soma das áreas desses retângulos:

A = ∑ i Δ A i = ∑ i f x i   Δ x

Conforme a gente vai aumentando n , melhor nossa aproximação fica:

No limite de “infinitos” retângulos, a soma se torna uma integral e dá exatamente a área sob a curva:

A → ∫ a b f x   d x

Isso é exatamente o que ele pede para fazer no item (b). Problema resolvido!

Resposta

Demonstração.

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