Enunciado

Geralmente desprezamos a energia cinética das espirais de uma mola, porém agora vamos tentar obter uma aproximação razoável sem desprezar esse fator. Seja M a massa da mola, L 0 seu comprimento normal antes da deformação e k a constante de força da mola. O trabalho realizado para esticar ou comprimir a mola a uma distância L é dado por 1 2 k X 2 , onde X = L - L 0 . Considere a mola descrita anteriormente e suponha que uma de suas extremidades esteja fixa e a outra se mova com velocidade v . Suponha que a velocidade ao longo da mola varie linearmente com a distância l da extremidade fixa. Suponha também que a massa M seja uniformemente distribuída ao longo da mola. (a) Calcule a energia cinética da mola em função de M e de v . (Dica: divida a mola em segmentos de comprimento d l ; calcule a velocidade de cada segmento em função de l , de v e de L ; ache a massa de cada segmento em função de d l , de M e de L ; a seguir, integre de 0 a L . O resultado não será igual a 1 2 M v 2 , porque as partes da mola não se movem com a mesma velocidade.)

Em uma espingarda de mola, a mola possui massa igual a 0,243   k g e a constante da mola é igual a 3200   N / m ; ela é comprimida 2,50   c m a partir de seu comprimento sem deformação. Quando o gatilho é puxado, a mola exerce uma força horizontal sobre uma bala de massa 0,053   k g kg. Despreze o trabalho realizado pelo atrito. Calcule a velocidade da bala quando a mola atinge seu comprimento sem deformação (b) desprezando a massa da mola; (c) incluindo a massa da mola usando o resultado do item (a). (d) No item (c), qual é a energia cinética da bala e a energia cinética da mola?

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

O exercício disse que a velocidade ao longo da mola varia linearmente com a distância l até a extremidade fixa. Com isso, podemos escrever uma função do tipo

v l = A   l

Sabemos que para l = L devemos ter v l = v , de modo que

v = A L → A = v L

Portanto, a expressão da velocidade em função de l é

v l = v L   l

Passo 2

Agora vamos considerar uma porção infinitesimal de mola cuja massa é

d M = λ   d l

Nessa relação, λ é a densidade linear de massa da mola. Como a distribuição de massa é uniforme, temos que

λ = M L

Logo,

d M = M L   d l

Com isso, podemos escrever a energia cinética infinitesimal dessa porção de mola:

d K = 1 2 d M   v l 2 = 1 2 ⋅ M L   d l ⋅ v L l 2

Portanto,

d K = M v 2 2 L 3 l 2   d l

Para achar a energia cinética total da mola basta integrar:

K = M v 2 2 L 3 ∫ 0 L l 2   d l = M v 2 2 L 3 ⋅ L 3 3

Portanto,

K = 1 6 M v 2

Passo 3

Agora vamos considerar a situação dos itens (b) e (c). Usando o teorema trabalho-energia, podemos escrever

1 2 k X 2 = K f - K i

Como inicialmente o sistema estava em repouso, temos que

1 2 k X 2 = K f

Agora vem o grande ponto da questão: no item (b) nós desprezamos a massa da mola, de modo que basta escrever

1 2 k X 2 = 1 2 m v 2 → v b = k X 2 m

Assim,

v b = 3200 ⋅ 0,025 2 0,053

Portanto,

v b = 6,14   m / s

Passo 4

Na situação do item (c), temos que considerar também a energia cinética da mola, de modo que

1 2 k X 2 = 1 2 m v 2 + 1 6 M v 2

Logo,

3 k X 2 = 3 m v 2 + M v 2 → v c = 3 k X 2 3 m + M

Substituindo os valores e fazendo as contas, achamos

v c = 3,86   m / s

Com isso podemos calcular a energia cinética da bala e da mola:

K b a l a = 1 2 m v c 2 = 1 2 ⋅ 0,053 ⋅ 3,86 2 → K b a l a = 0,395   J

K m o l a = 1 6 M v c 2 = 1 6 ⋅ 0,243 ⋅ 3,86 2 → K m o l a = 0,603   J

Resposta

K = 1 6 M v 2

v b = 6,14   m / s

v c = 3,86   m / s

K b a l a = 0,395   J

K m o l a = 0,603   J

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