Enunciado

Quando um avião voa, está submetido a uma força de resistência do ar proporcional ao quadrado de sua velocidade v . Porém, existe uma força de resistência adicional, pois o avião possui asas. O ar que circula sobre as asas é empurrado para baixo e ligeiramente para a frente, de modo que, pela terceira lei de Newton, ele exerce sobre as asas do avião uma força orientada para cima e inclinada ligeiramente para trás (Figura P6.94). O componente da força orientado para cima é a força de sustentação que mantém o avião suspenso no ar, e o componente da força orientado para trás denomina-se arraste induzido. Para velocidades de um voo típico, o arraste induzido é inversamente proporcional a v 2 , de modo que a força total de resistência do ar é dada por F a r = α v 2 + β / v 2 , onde α e β são constantes positivas que dependem da forma e do tamanho do avião e da densidade do ar. Para um Cessna 150, um pequeno avião monomotor, α = 0,30   N   s 2 / m 2 e β = 3,5 ⋅ 10 5   N   m 2 / s 2 . Em um voo com velocidade constante, o motor deve fornecer uma força orientada para a frente para igualar a força total de resistência do ar.  (a) Calcule a velocidade (em k m / h ) desse avião para o qual ele atinja um alcance máximo (isto é, atinja a distância máxima para uma dada quantidade de combustível). (b) Calcule a velocidade (em k m / h ) para que esse avião tenha a resistência máxima (isto é, para que ele permaneça no ar por mais tempo).

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

O primeiro passo é achar a potência instantânea consumida pelo avião:

P = F a r   v = α v 3 + β v

No item (a), queremos achar o valor de v que maximiza a distância d percorrida pelo avião para uma dada quantidade fixa de combustível. Vamos supor que essa quantidade fixa de combustível fornece uma energia E para o avião:

E = P   Δ t

Por outro lado, temos que

v = d Δ t → Δ t = d v

Logo,

E = P d v

Como P / v é F a r , temos que

d = E F a r

Logo, para maximizar d , devemos minimizar F a r ! É isso que precisamos fazer no item (a)!

Passo 2

Para minimizar F a r , tomamos sua derivada com relação a v e igualamos a zero:

d F a r d v = d d v α v 2 + β v 2 = 2 α v 2 - 2 β v 3 = 0

Portanto,

v 5 = β α → v a = β α 1 / 5

Substituindo os valores:

v a = 3,5 ⋅ 10 5 0,30 1 / 5 → v a = 16,3   m / s

Passando para k m / h :

v a = 58,8   k m / h

Passo 3

Já no item (b), queremos maximizar o tempo de voo, isto é, maximizar Δ t :

Δ t = E P

Logo, para maximizar Δ t , precisamos minimizar P ! Para isso, seguimos o mesmo procedimento do item (a):

d P d v = d d v α v 3 + β v = 3 α v 2 - β v 2 = 0

Portanto,

v 4 = β 3 α → v b = β 3 α 1 / 4

Substituindo os valores e já convertendo para k m / h :

v b = 3,6 ⋅ 3,5 ⋅ 10 5 3 ⋅ 0,30 1 4 → v b = 89,9   k m / h

Resposta

v a = 58,8   k m / h

v b = 89,9   k m / h

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