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Exercícios Resolvidos de Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick

Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick - 14.2 - 19

Um grande aquário de 5 m   de altura está cheio de água doce até uma altura de 2 m . Uma das paredes do aquário é feita de plástico e tem 8,00   m de largura. De quanto aumenta a força exercida sobre a parede se a altura da água é aumentada para 4 m ?

Passo 1

Show de bolinhas pessoal, primeira coisa a gente tem que lembrar que a pressão de um fluido em repouso varia (entre dois pontos   1 e 2 no interior de um fluido de densidade ρ ) de acordo com a posição vertical:

p 2 = p 1 + ρ × g × ( y 2 - y 1 )

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Passo 2

Considerando os pontos 2 e 1 como localizados a uma profundidade y e 0 (sobre a superfície do líquido), respectivamente, temos que a pressão em um ponto 2 qualquer é dada por :

p 2 = p a t m + ρ × g × y = p ( y )

Onde o aquário pode ser desenhado como:

Como a pressão atmosférica atua tanto no interior do líquido quanto na região externa à parede, para efeitos de cálculo da pressão exercida pelo fluido na parede, consideramos apenas a pressão manométrica, tal que:

p m a n o m é t r i c a = ρ × g × y

Passo 3

Uma das formas de calcular a forca exercida pelo fluido sobre a parece vertical indicada na figura é através da soma das componentes de força exercidas pela ação da pressão do líquido nas diversas unidades de área que compõem a superfície da parede, até uma altura de 2 m

Nesse caso, a força em cada unidade de área é dada por :

F y = p ( y ) × d A

Como podemos perceber na Figura, cada unidade de área d A   vale:

d A = 8 × d y

Logo, as forças exercidas pelo líquido em cada componente de área da parede são expressas assim:

F y = 8 ρ g y d y

Passo 4

O somatório das infinitas forças F ( y ) , que fornece o valor da força total exercida pelo fluido sobre a parede, é dado pela integral da expressão acima

F r e s u l t a n t e =   ∫ 0 h 8 ρ g y d y

F r e s u l t a n t e =   8 ρ g ∫ 0 h y d y

Lembre-se que:

∫ y   d y = y 2 2

Dessa forma, sendo h a altura do fluido, obtemos que:

F r e s u l t a n t e = 8 ρ g h ² 2

Passo 5

A partir disso, podemos calcular o aumento de força decorrente do aumento do nível de água contido no aquário:

Δ F = 8 ρ g 4 2 2 - 2 2 2

∆ F = 8   m 998 kg/m³ × 9,8 m/s² × 8   m - 2   m

∆ F ≅ 4,69 × 10 5   N    

Resposta

∆ F ≅ 4,69 × 10 5   N    

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