Enunciado

Um grande rolo de papel de 16,0 kg com raio R =18,0 cm está em repouso contra uma parede e é mantido no lugar por um suporte ligado a uma barra que passa em seu centro (Figura 10.54). A barra pode girar sem atrito no suporte, e o momento de inércia do papel e da barra em torno do disco é igual a 0,260 k g × m 2 . A outra extremidade da barra está presa à parede por uma articulação sem atrito de modo que a barra faz um ângulo de 30,0º com a parede. O peso da barra é desprezível. O coeficiente de atrito cinético entre o papel e a parede é c 0,25. Uma força constante vertical F= 40,0 N é aplicada ao papel, e o papel desenrola.

a) Qual é o módulo da força que a barra exerce sobre o papel enquanto ele desenrola?

b) Qual é a aceleração angular do rolo?

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos diz que um grande rolo de papel de 16,0   k g com raio R   = 18,0   c m está em repouso contra uma parede e é mantido no lugar por um suporte ligado a uma barra que passa em seu centro.

A barra pode girar sem atrito no suporte, e o momento de inércia do papel e da barra em torno do disco é igual a 0,260   k g × m 2 .

A outra extremidade da barra está presa à parede por uma articulação sem atrito de modo que a barra faz um ângulo de 30,0 ° com a parede. O peso da barra é desprezível.

O coeficiente de atrito cinético entre o papel e a parede é 0,25 .

Uma força constante vertical F =   40,0   N é aplicada ao papel, e o papel desenrola.

Queremos calcular o módulo da força que a barra exerce sobre o papel enquanto ele desenrola.

Para isso, precisaremos da seguinte expressão (Segunda Lei de Newton):

∑ F = m a

Onde F é força, m é a massa e a é a aceleração.

Também queremos calcular a aceleração angular do rolo. Para isso, precisaremos da seguinte expressão:

∑ τ = I α

Onde τ é o torque, I é o momento angulae e α é a aceleração angular.

Passo 2

Analisemos que no ponto de contato, a parede exerce uma força de atrito f direcionada para baixo e uma força normal n → direcionado para a direita.

Essa é uma situação em que a força líquida no rolo é zero, mas o torque líquido não é zero.

Feito isso, precisamos equilibrar as forças verticais e as horizontais, a fim de encontrar o módulo da força que a barra exerce sobre o papel.

No segundo momento, temos que a haste e a força normal exercem torque zero, a partir disso encontraremos a aceleração.

Passo 3

Fazendo a análise das forças...

F cos ⁡ θ = f + w + f (vertical)

F sin ⁡ θ = n (horizontal)

Onde w é a força peso.

Lembrando que f = μ × n .

Substituindo,

F cos ⁡ θ = μ × n + w + f

Como F sin ⁡ θ = n , eliminamos o n

F = w + F cos ⁡ θ - μ sin ⁡ θ

Assim,

F = 16   k g × 9,8 m s 2 + 40 N cos ⁡ 30 ° - ( 0,25 ) sin ⁡ 30 °

F = 266   N

Passo 4

Em segundo, para encontrarmos a aceleração do rolo é só aplicarmos ∑ τ = I c m α

α = τ I c m  

É importante lembrarmos que quando substituirmos o torque, a magnitude da rede é ( F   -   f )   R , e f = μ × n pode ser encontrado pela inserção do valor encontrado para a haste F em uma das relações; ou seja , f   =   μ   F   s i n θ   =   33,2   N .

Substituindo os dados...

α = ( 40   N - 31,54   N ) ( 18   × 10 - 2 m ) ( 0,2600   k g × m 2 )  

Logo,

α = 4.71   r a d / s 2

Resposta

a) F = 266   N

b) α = 4.71   r a d / s 2

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