Enunciado

Grandes cavernas de calcário foram formadas por água pingando. (a) Se gotas de água de 0,030mL caem de uma altura 5,0m a uma taxa de 10 gotas por minuto, qual é a força média exercida no chão da caverna pelas gotas de água em um período de 1,0min? (Suponha que a água não acumula no chão.) (b) Compare esta força com o peso de uma gota d’água.

Passo 1

Faaaaala! E aí, como tá esse coração?

Vamos lá, nessa questão temos várias gotinhas caindo do teto das cavernas. Com a queda, elas fazem uma força no chão. Queremos determinar a força média exercida pelas gotas dentro de um minuto.

Antes de começar propriamente, vamos organizar nossos dados:

- As gotas caem de um altura de h = 5   m e inicialmente a velocidade delas é nula v 1 = 0 .

- Uma gota tem V = 0,030 m L . É uma boa a gente achar a massa de água dentro desse volume. Para isso, vamos usar a massa específica da água que vale ρ = 1   g / m l (ela é tipo a aceleração da gravidade, sempre muito útil, então é bom saber hehe)

ρ = m V → m = ρ V

m = 1 0,03 = 0,03 g = 0,03 × 10 - 3 K g

- Caem 10 gotas de água por minuto.

Agora sim, vamos achar essa força média!

Passo 2

a) A força média F aparece na expressão do impulso:

I = F Δ t

A gente não tem o impulso, Mas olha o que o teorema impulso-momento diz:

Δ P t o t a l = I

Vamos substituir isso na equação de cima:

Δ P t o t a l = F Δ t

Isolar quem a gente quer:

F = Δ P t o t a l Δ t

Mas quem é Δ P ? É o módulo da variação de quantidade de movimento da gota na colisão com o solo.

Como ela chega ao chão com uma velocidade v p i = m v e depois do fim do tempo de contato com o solo ela fica em repouso de novo ( p f = 0 ) , o módulo da variação é igual a quantidade de movimento no ínicio do contato com o solo:

Δ P = m v

Essa é a variação de P para uma gota. Substituindo na equação de cima:

F = Δ P t o t a l Δ t

F = N m v Δ t

Você pode gritar comigo e falar “quem é esse N ???!” Calma, cara. É que são 10 gotas por minuto, né? Então precisamos contabilizar a quantidade de movimento de todas elas se a gente for considerar que Δ t = 1   m i n = 60   s para a variação total de P .

Logo N = 10 é o número de gotas.

Passo 3

Mas a gente não sabe quem é v , a velocidade em que uma gota chega no chão.

A gente pode aplicar a conservação de energia para determinar a velocidade dela quando começa seu contato com o solo.

Não há forças externas entre o momento que a gota sai do teto (1) e no instante imediatamente antes de entrar em contato com o solo (2), por isso a energia mecânica se conserva:

E 1 = E 2

Como não temos molas, a energia mecânica de cada momento vai ser a soma de energia cinética com energia potencial gravitacional:

K 1 + U 1 = K 2 + U 2

Porém, como a gota sai do repouso de uma certa altura, sua velocidade no lançamento é nula, e assim a energia K 1 será 0 . Ao chegar no chão, sua altura em referencial ao solo será 0 , o que resulta em energia potencial gravitacional nula U 2 = 0 .

Nossa equação fica:

U 1 = K 2

Substituindo a expressão de cada uma dessas energias:

1 2 m v 2 =   m g h  

1 2 v i 2 =   g h  

v = 2 g h

Passo 4

Substituindo essa expressão da velocidade na nossa equação para força média:

F = N m v Δ t

F = N Δ t m 2 g h

Agora vamos substituir tudo, sem esquecer de olhar pras unidades! Por exemplo, passar de mililitros de água para sua correspondência em quilos, de minutos para segundos.

F = 10 60 × 0,03 × 10 - 3 × 2 × 9.81 × 5

F = 4.95 × 10 - 5 N = 50 μ N

Não esquece: μ = 10 - 6 .

Passo 5

b) Ele quer que a gente compare essa força com o peso de uma gota. O peso da gota é

F g = m g

Uma boa forma de comparar é calculando uma razão entre F g e F .

A razão peso da gota por F será:

F g F = m g F

F g F   = 0,03 × 10 - 3 × 9.81 4.95 × 10 - 5

F g F ≈ 6 → F g = 6 F

Ou seja, o peso da gota é 6 vezes a força média.

Resposta

  1. 50 μ N
  2. 6
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